50 bài tập về Nhị thức Niu-tơn (có đáp án 2024) và cách giải

Nhị thức Niu-tơn và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

b) Nhận xét:

Trong khai triển Niu tơn (a + b)ⁿ có các tính chất sau

- Gồm có n + 1 số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng: $C_n^k=C_n^{n-k}$

- Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp: $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

- Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Ví dụ:

Số hạng thứ nhất $T_1=T_{0+1}=C_n^0{a}^n$, số hạng thứ k: $T_k=T_{(k-1)+1}=C_n^{k-1}{a}^{n-k+1}{b}^{k-1}$

c) Hệ quả:

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm số hàng chứa x^m trong khai triển

Phương pháp giải:

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: ${\left(a{x}^p+b{x}^q\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(a{x}^p\right)}^{n-k}{\left(b{x}^q\right)}^k$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{np-pk+qk}$

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{q-p}$

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là: $C_n^k{a}^{n-k}.b^k$ với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: $P\left(x\right)={\left(a+b{x}^p+c{x}^q\right)}^n$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{\left(b{x}^p+c{x}^q\right)}^k$

$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(b{x}^p\right)}^{k-j}{\left(c{x}^q\right)}^j$

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x⁰.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Vậy hệ số của đa thức trong khai triển là: $C_5^4{\left(-2\right)}^4+C_{10}^5{5}^5=787580$.

Ví dụ 2:

Lời giải

Ta có: $C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=78$ (Điều kiện: $n\ge 2;n\in \mathbb{N}$)

$\begin{array}{l}\iff \frac{n!}{\left(n-1\right)!.1!}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}=78\\ \iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=78\\ \iff 2n+n^2-n=156\\ \iff n^2+n-156=0\\ \iff \left(n-12\right)\left(n+13\right)=0\\ \iff \begin{array}{l}n=12\\ n=-13\left(Loại\right)\end{array}\end{array}$

Do đó ta được khai triển:

$\begin{array}{l}{\left(x^3-\frac{2}{x}\right)}^{12}=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(x^3\right)}^{12-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(-2\right)}^k{x}^{36-3k}{x}^{-k}\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(-2\right)}^k{x}^{36-4k}\end{array}$

Cần tìm hệ số không chứa x trong khai triển nên $36-4k=0\iff k=9$.

Vậy hệ số không chứa x của khai triển là: $C_{12}^9{\left(-2\right)}^9=-112640$.

Ví dụ 3:

Lời giải

Ta có khai triển:

$\begin{array}{l}{\left(1–x+2x^2\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{\left(-x+2x^2\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(-x\right)}^{k-j}{\left(2x^2\right)}^j\\ =\sum _{k=0}^{10}\sum _{j=0}^k{C}_{10}^k{C}_k^j{\left(-1\right)}^{k-j}{.2}^j.x^{k+j}\end{array}$

Cần hệ số của x¹⁵ trong khai triển nên $\begin{array}{l}k+j=15\\ 0\le j\le k\le 10\\ j,k\in \mathbb{N}\end{array}$

Trường hợp 1: k = 8; j = 7, ta được 1 hệ số là $C_{10}^8{C}_8^7{\left(-1\right)}^{8-7}{.2}^7=-46080$

Trường hợp 2: k = 9; j = 6, ta được 1 hệ số là $C_{10}^9{C}_9^6{\left(-1\right)}^{9-6}{.2}^6=-53760$

Trường hợp 3: k = 10; j = 5, ta được 1 hệ số là $C_{10}^{10}{C}_{10}^5{\left(-1\right)}^{10-5}{.2}^5=-8064$

Vậy hệ số của x¹⁵ trong khai triển là: – 46080 – 53760 – 8064 = –107904.

Dạng 2. Bài toán tính tổng

Phương pháp giải:

Dựa vào khai triển nhị thức Niu tơn

Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Ví dụ 2:

Lời giải

Ví dụ 3.

A. 1

B. 3²⁰

C. 0

D. – 1

Lời giải

Chọn A

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. 2021.

B. 2019.

C. 2018.

D. 2020.

Câu 2.

A. – 13440.

B. – 210.

C. 210.

D. 13440.

Câu 3.

A. $2^4.C_{12}^5$.

B. $C_{12}^8$.

C. $2^4.C_{12}^4$.

D. $2^8.C_{12}^8$.

Câu 4.

A. $2^7{C}_{21}^7$.

B. $2^8{C}_{21}^8$.

C. $-2^8{C}_{21}^8$.

D. $-2^7{C}_{21}^7$.

Câu 5.

A. – 28.

B. 70.

C. – 56.

D. 56.

Câu 6.

A. 116280.

B. 293930.

C. 203490.

D. 1287.

Câu 7.

A. 792.

B. 210.

C. 165.

D. 252.

Câu 8.

A. 60.

B. 80.

C. 160.

D. 240.

A. 1715.

B. 1711.

C. 1287.

D. 1716.

Câu 10.

A. – 3003.

B. – 5005.

C. 5005.

D. 3003.

A. S = 2¹⁰.

B. S = 4¹⁰.

C. S = 3¹⁰.

D. S = 3¹¹.

A. 4²⁰²¹.

B. 2²⁰²¹ + 1.

C. 4²⁰²¹ – 1.

D. 2²⁰²¹ – 1.

Câu 13.

A. 2022.

B. 2²⁰²² .

C. 2022².

D. 2.2022.

A. – 1.

B. 1.

C. 3¹⁰⁰.

D. 2¹⁰⁰.

A. 2^n-2.

B. 2^n-1.

C. 2^2n-2.

D. 2^2n-1.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	D	D	D	C	C	B	A	A	D	C	D	B	B	D