50 bài tập về Dãy số (có đáp án 2024) và cách giải

Dãy số và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa dãy số

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu: $u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ$

$n\mapsto u\left(n\right).$

Trong đó ta gọi: u₁ là số hạng đầu, u_n = u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

- Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả.

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

b) Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (u_n) được gọi là tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (u_n) được gọi là giảm nếu $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

c) Dãy số bị chặn

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho $u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $u_n\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Cho dãy số (u_n): u_n = f(n) (trong đó f(n) là một biểu thức của n). Hãy tìm số hạng u_k.

→ Thay trực tiếp n = k vào u_k để tìm.

Bài toán 2: Cho dãy số (u_n) cho bởi $\begin{array}{l}{u}_1=a\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}$ (với f(u_n) là một biểu thức của u_n). Hãy tìm số hạng u_k.

Bài toán 3: Cho dãy số (u_n) cho bởi $\begin{array}{l}{u}_1=a,u_2=b\\ u_{n+2}=c.u_{n+1}+d.u_n+e\end{array}$. Hãy tìm số hạng u_k.

Bài toán 4: Cho dãy số (u_n) cho bởi $\begin{array}{l}{u}_1=a\\ u_{n+1}=f\left(\left.n,u_n\right\}\right)\end{array}$. Trong đó f({n; u_n)}) là kí hiệu của biểu thức u_{n + 1} tính theo u_n và n. Hãy tìm số hạng u_k.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Ta có năm số hạng đầu của dãy

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1^2+3.1+7}{1+1}=\frac{11}{2}\\ u_2=\frac{2^2+3.2+7}{2+1}=\frac{17}{3}\\ u_3=\frac{3^2+3.3+7}{3+1}=\frac{25}{4}\\ u_4=\frac{4^2+3.4+7}{4+1}=7\\ u_5=\frac{5^2+3.5+7}{5+1}=\frac{47}{6}\end{array}$

Vậy năm số hạng đầu của dãy là: $\frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4};7;\frac{47}{6}$.

Ví dụ 2:

A. $u_{11}=\frac{11}{2}$.

B. u₁₁ = 4.

C. $u_{11}=\frac{9}{2}$.

D. u₁₁ = 5.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_2=\frac{1}{2}(u_1+1)=\frac{1}{2}\\ u_3=\frac{2}{3}(u_2+1)=1\\ u_4=\frac{3}{4}(u_3+1)=\frac{3}{2}\\ u_5=\frac{4}{5}(u_4+1)=2\\ u_6=\frac{5}{6}(u_5+1)=\frac{5}{2}\\ u_7=\frac{6}{7}(u_6+1)=3\\ u_8=\frac{7}{8}(u_7+1)=\frac{7}{2}\\ u_9=\frac{8}{9}(u_8+1)=4\\ u_{10}=\frac{9}{10}(u_9+1)=\frac{9}{2}\\ u_{11}=\frac{10}{11}(u_{10}+1)=5\end{array}$

Ví dụ 3:

A. u₈ = 3050.

B. u₈ = 5003.

C. u₈ = 3500.

D. u₈ = 3005.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

u₃ = 2u₂ + 3u₁ + 5 = 12

u₄ = 2u₃ + 3u₂ + 5 = 35

u₅ = 2u₄ + 3u₃ + 5 = 111

u₆ = 2u₅ + 3u₄ + 5 = 332

u₇ = 2u₆ + 3u₅ + 5 = 1002

u₈ = 2u₇ + 3u₆ + 5 = 3005

Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số

Phương pháp giải

Cách 1: Xét hiệu u_n+1 – u_n

- Nếu $u_{n+1}-u_n>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì (u_n) là dãy số tăng.

- Nếu $u_{n+1}-u_n<0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì (u_n) là dãy số giảm.

Cách 2: Khi $u_n>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta xét tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$

- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ thì (u_n) là dãy số tăng.

- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ thì (u_n) là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh $u_{n+1}>u_n\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (hoặc $u_{n+1}<u_n\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$)

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

- Dãy số (u_n) có u_n = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0

- Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ

+ Không tăng, không giảm khi q < 0

+ Giảm khi 0 < q < 1

+ Tăng khi q > 1

- Dãy số (u_n) có $u_n=\frac{an+b}{cn+d}$ với điều kiện

+ Tăng khi ad – bc > 0

+ Giảm khi ad – bc < 0

- Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

- Nếu dãy số (u_n) tăng hoặc giảm thì dãy số (qⁿ. u_n) (với q < 0) không tăng, không giảm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau $\left(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$:

a) u_n = 3n + 6

b) $u_n=\frac{n+5}{n+2}$

c) $u_n=n-\sqrt{n^2-1}$

Lời giải

a) Ta có $u_n=3n+6\Rightarrow u_{n+1}=3\left(n+1\right)+6=3n+9$

Xét hiệu

$u_{n+1}-u_n=\left(3n+9\right)-\left(3n+6\right)=3>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có $u_n=\frac{n+5}{n+2}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{n+1+5}{n+1+2}=\frac{n+6}{n+3}$

Xét hiệu

$u_{n+1}-u_n=\frac{n+6}{n+3}-\frac{n+5}{n+2}=\frac{\left(n+6\right)\left(n+2\right)-\left(n+5\right)\left(n+3\right)}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$

$=\frac{-3}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}<0$(do n là số tự nhiên)

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

c) Ta có $u_n=n-\sqrt{n^2-1}$$\Rightarrow u_{n+1}=n+1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}$

$\begin{array}{l}{u}_{n+1}-u_n\\ =\left.n+1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}\right]-\left.n-\sqrt{n^2-1}\right]\\ =\frac{1}{n+1+\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}}-\frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}<0\end{array}$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Ví dụ 2:

a) $u_n=\frac{5^n}{n^2}$

b) $u_n=\frac{2^n}{n!}$

c) $u_n=\sqrt{n^2+n+1}$

Lời giải

a) Ta có $u_n=\frac{5^n}{n^2}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}$

Xét tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}.\frac{n^2}{5^n}=\frac{5n^2}{n^2+2n+1}$

$\begin{array}{l}=\frac{n^2+2n+1+4n^2-2n-1}{n^2+2n+1}\\ =1+\frac{2n\left(n-1\right)+2n^2-1}{n^2+2n+1}>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

b) $u_n=\frac{2^n}{n!}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{\left(n+1\right)!}$

Ta có:

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}:\frac{2^n}{n!}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}.\frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}<1\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

c) $u_n=\sqrt{n^2+n+1}$

Ta có: $u_n=\sqrt{n^2+n+1}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\Rightarrow u_{n+1}=\sqrt{{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)+1}$

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{{(n+1)}^2+(n+1)+1}}{\sqrt{n^2+n+1}}=\sqrt{\frac{n^2+3n+3}{n^2+n+1}}\text{>1 }\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số

Phương pháp giải:

- Cách 1: Dãy số (u_n) có u_n = f(n) là hàm số đơn giản.

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức $u_n=f\left(n\right)\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ hoặc $u_n=f\left(n\right)\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (u_n) giảm thì bị chặn trên, dãy số (u_n) tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (u_n) có $u_n=q^n\left(\left.q\right|\le 1\right)$ bị chặn

Dãy số (u_n) có $u_n=q^n\left(q<-1\right)$ không bị chặn

Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ với q > 1 bị chặn dưới

Dãy số (u_n) có u_n = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a <0

Dãy số (u_n) có u_n = an² + bn 8+ c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (u_n) có $u_n=\frac{P\left(n\right)}{Q\left(n\right)}$ trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q(n)

Dãy số (u_n) có $u_n=\frac{P\left(n\right)}{Q\left(n\right)}$ trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) $u_n=\frac{4n+5}{n+1}$

b) u_n = 3n – 1

c) $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}$

Lời giải

a) $u_n=\frac{4n+5}{n+1}$

Ta có $u_n=\frac{4n+5}{n+1}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Mặt khác

$u_n=\frac{4n+5}{n+1}=\frac{4(n+1)+1}{n+1}=4+\frac{1}{n+1}\le 4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\Rightarrow u_n\le \frac{9}{2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Suy ra $0<u_n\le \frac{9}{2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy dãy số (u_n) bị chặn

b) u_n = 3n - 1

Ta có:

$n\ge 1\iff 3n\ge 3\iff 3n-1\ge 2\iff u_n\ge 2\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy (u_n) bị chặn dưới; không bị chặn trên.

c) $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}$

Ta có $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy (u_n) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:

a) $\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n-1\end{array}$

Lời giải

a) $\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n-1\end{array}$

Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy Casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: $-2\le u_n\le 1,\forall n\in \mathbb{N}*$

Với n = 1 ta có $-2\le u_1=1\le 1$ (đúng)

Giả sử mệnh đề trên đúng với $n=k\ge 1:-2\le u_k\le 1$

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1

Ta có:

$\begin{array}{l}-2\le u_k\le 1\Rightarrow -1\le \frac{1}{2}{u}_k\le \frac{1}{2}\\ \Rightarrow -2\le \frac{1}{2}{u}_k-1\le -\frac{1}{2}\Rightarrow -2\le u_{k+1}\le 1\end{array}$

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được $-2\le u_n\le 1,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (u_n) bị chặn.

Xét $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{\left(k-1\right)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\forall k\ge 2$

Suy ra

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}<\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 0<u_n<\frac{3}{2},\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy (u_n) bị chặn

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho dãy số (u_n) biết $u_n=\frac{1}{n+1}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}.$

B. $1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}.$

C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{6}.$

D. $1;\frac{1}{3};\frac{1}{5}.$

Câu 2.

A. $u_1=1,u_2=\frac{3}{4},u_3=\frac{7}{5},u_4=\frac{3}{2},u_5=\frac{11}{7}$

B. $u_1=1,u_2=\frac{5}{4},u_3=\frac{7}{5},u_4=\frac{3}{2},u_5=\frac{11}{7}$

C. $u_1=1,u_2=\frac{5}{4},u_3=\frac{8}{5},u_4=\frac{3}{2},u_5=\frac{11}{7}$

D. $u_1=1,u_2=\frac{5}{4},u_3=\frac{7}{5},u_4=\frac{7}{2},u_5=\frac{11}{3}$

Câu 3.

A. 317

B. 157

C. 77

D. 112

Câu 4.

A. 0

B. 93

C. 9

D. 34

Câu 5.

A. u₈ = - 1803

B. u₈ = - 5793

C. u₈ = - 18147

D. u₈ = - 537

Câu 6.

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 7.

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. $u_{n-1}=\frac{10}{3^n-1}$

Câu 8.

A. $u_n={\left(\frac{4}{3}\right)}^n.$

B. u_n = (- 1)ⁿ(5ⁿ - 1).

C. u_n = - 3ⁿ.

D. $u_n=\sqrt{n+4}.$

Câu 9.

A. $u_n=n+\frac{1}{n}.$

B. u_n = 5ⁿ + 3n.

C. u_n = - 3^n.

D. $u_n={\left(-3\right)}^n.\sqrt{n^2+1}$.

Câu 10.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số không tăng, không giảm.

D. Có u₁₀ = 2.

Câu 11.

A. $u_n=n+\frac{1}{n}.$

B. u_n = n + 1.

C. $u_n=\frac{n}{2n^2+1}$.

D. u_n = n² + n + 1.

Câu 12.

A. Tăng, bị chặn trên.

B. Tăng, bị chặn dưới.

C. Giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 13.

A. Tăng, bị chặn trên.

B. Tăng, bị chặn dưới.

C. Giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

A. Bị chặn.

B. Không bị chặn.

C. Bị chặn trên.

D. Bị chặn dưới.

A. Dãy số tăng, bị chặn.

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.

C. Dãy số giảm, bị chặn trên.

D. Cả A, B, C đều sai.

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	B	B	D	A	A	B	C	D	B	C	C	C	A	A