50 bài tập về Phép đồng dạng (có đáp án 2024) và cách giải

Phép đồng dạng và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 11

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’; N’ của chúng ta có:

$\begin{array}{l}M\text{'}N\text{'}=kMN\\ \begin{array}{l}F\left(M\right)=M\text{'}\\ F\left(N\right)=N\text{'}\end{array}\Rightarrow M\text{'}N\text{'}=kMN(k>0)\end{array}$

2. Nhận xét:

- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1

- Phép vị tự $V_{(I;k)}$ là phép đồng dạng tỉ số |k|

- Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk

- Phép đồng dạng tỉ số k là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số k hoặc - k. Nó cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k hoặc - k và một phép dời hình

3. Phép đồng dạng tỉ số k có các tính chất sau:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữ các điểm ấy

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng a thành đoạn thẳng có độ dài bằng ka

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR

4. Hai hình đồng dạng:

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia

II. Các dạng bài về phép đồng dạng

Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép đồng dạng

Phương pháp giải:

Ví dụ 1:

Lời giải

Gọi là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1; -1) tỉ số $k=\frac{1}{2}$. Vì $d_1$ song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x + y + c = 0

Lấy $M(1;1)\in d$

$\begin{array}{l}M\text{'}(x\text{'};y\text{'})=V_{(I;\frac{1}{2})}\left(M\right)\Rightarrow \overrightarrow{IM\text{'}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{IM}\\ \iff \begin{array}{l}x\text{'}+1=\frac{1}{2}(1+1)\\ y\text{'}+1=\frac{1}{2}(1+1)\end{array}\Rightarrow M\text{'}(0;0)\in d_1\end{array}$

Vậy phương trình của $d_1:x+y=0$

Ảnh của $d_1$ qua phép quay tâm O góc -45 độ là đường thẳng Oy.

Vậy phương trình $d\text{'}:x=0$

Ví dụ 2:

Giải

Ta có $M(0;1)\in d$

Qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 2 ta có: $V_{(I;2)}\left(d\right)=d_1$

Suy ra phương trìnhcó dạng x – y + c = 0

Mặt khác: $V_{(I;2)}\left(M\right)=M_1(x_1;y_1)\in d_1$$\Rightarrow \overrightarrow{I{M}_1}=2\overrightarrow{IM}\Rightarrow M_1(-1;1)$

Vậy $d_1:x-y+2=0$

Qua phép tịnh tiến theo vectơ ta có: $T_{\overrightarrow{v}}\left(d_1\right)=d_2$

Suy ra phương trình $d_2$ có dạng: x – y + d = 0

$M_1\in d_1\Rightarrow T_{\overrightarrow{v}}\left(M_1\right)=M_2(x_2;y_2)\in d_2\Rightarrow \overrightarrow{M_1{M}_2}=\overrightarrow{v}\Rightarrow M_2(-2;1)$

Vậy có phương trình x – y + 3 = 0

Qua phép đồng dạng đường thẳng d: x – y + 1 = 0 trở thành đường thẳng $d_2:x-y+3=0$

Dạng 2: Tìm phép đổng dạng biến hình H thành hình H’

Phương pháp giải:

Ví dụ 3:

Giải

- Lấy đối xứng qua đường thẳng IJ

IJ là đường trung trực của AB và EF

Suy ra: $D_{\text{IJ}}\left(A\right)=B;D_{\text{IJ}}\left(E\right)=F$

$O\in \text{IJ}\Rightarrow D_{\text{IJ}}\left(O\right)=O\Rightarrow D_{\text{IJ}}(△AEO)=△BFO$

$△BFO$ qua phép vị tự tâm B tỉ số 2

Ta có: $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BF};\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BO}$

Suy ra: $C=V_{(B;2)};d=V_{(B;2)}\left(O\right)$$\Rightarrow △BCD=V_{(B;2)}(△BFO)$

Vậy ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng theo đề bài là tam giác BCD

Ví dụ 4:

Giải

Giả sử ta có hai hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và $\frac{BC}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{1}{2}$

Phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{AA\text{'}}}$ biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật $A\text{'}{B}_1{C}_1{D}_1$

Phép quay $Q_{(A\text{'};\alpha )}$ với $\alpha =(A\text{'}{B}_1;A\text{'}B\text{'})$ biến hình chữ nhật $A\text{'}{B}_1{C}_1{D}_1$ thành hình chữ nhật $A\text{'}{B}_2{C}_2{D}_2$

Vì $\frac{A\text{'}{D}_2}{A\text{'}{B}_2}=\frac{A\text{'}D\text{'}}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{A\text{'}{D}_2}{A\text{'}D\text{'}}=\frac{A\text{'}{B}_2}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{A\text{'}{C}_2}{A\text{'}C\text{'}}$. Từ đó suy ra phép vị tự $V_{(A\text{'};k)}$ với $k=\frac{A\text{'}D\text{'}}{A\text{'}{D}_2}=\frac{A\text{'}D\text{'}}{AD}$ sẽ biến hình chữ nhật thành $A\text{'}{B}_2{C}_2{D}_2$ thành hình chữ nhật A’B’C’D’

Vậy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép biến hình $T_{\overrightarrow{AA}},V_{(A\text{'};k)}$ sẽ biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A’B’C’D’

Dạng 3: Dùng phép đồng dạng để giải toán

Phương pháp giải:

Ví dụ 5:

Lời giải:

Ta thấy góc lượng giác $(CA;CB)=-45°$ và $\frac{CB}{CA}=\sqrt{2}$

Do đó có thể xem B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm C, góc $-45°$và phép vị tự tâm C, tỉ số $\sqrt{2}$

Vì $A\in a$ nên $B\in aa"=F\left(a\right)$, B lại thuộc a

Do đó B là giao của a” với b

Ví dụ 6:

Lời giải:

Để chứng minh tam giác $O_1{O}_2{O}_3$ là tam giác đều ta xét các phép đồng dạng sau:

Kí hiệu $F(I,\phi ,k)=V_{(I,k)}{Q}_{(I;\phi )}$ là phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay $Q_{(I;\phi )}$ và phép vị tự $V_{(I;k)}$. Ta xét các phép đồng dạng:

$F_1=F\left(C;30°;\sqrt{3}\right)vàF_2\left(B;30°;\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

Gọi I, J, K, H là các điểm trên $CA\text{'},CA,BA\text{'},B{O}_3,B{O}_1$ sao cho $CI=C{O}_1,CJ=C{O}_2,$$BK=B{O}_1,BH=AB,BE=BA\text{'}$ khi đó $F_1\left(O_1\right)=V_{(C;\sqrt{3})}{Q}_{(C;30)}\left(O_1\right)$$=V_{(C;\sqrt{3})}\left(I\right)=A\text{'}$

Tương tự:

$\begin{array}{l}{F}_1\left(O_2\right)=V_{(C;\sqrt{3})}{Q}_{(C;30)}\left(O_2\right)\\ =V_{(C;\sqrt{3})}\left(J\right)=A\\ F_2(A\text{'})=V_{(B;\frac{1}{\sqrt{3}})}{Q}_{(B;30)}(A\text{'})\\ =V_{(B;\frac{1}{\sqrt{3}})}\left(E\right)=O_1\\ F_2\left(A\right)=V_{(B;\frac{1}{\sqrt{3}})}{Q}_{(B;30)}\left(A\right)\\ =V_{(B;\frac{1}{\sqrt{3}})}\left(H\right)=O_3\end{array}$

Vậy $F_2{F}_1\left(O_2\right)=F_2\left(A\right)=O_3$ và $F_2{F}_1\left(O_1\right)=F_2(A\text{'})=O_1$

Mặt khác $F=F_2{F}_1$ là phép đồng dạng có tỉ số $k=k_1{k}_2=\sqrt{3}\frac{1}{\sqrt{3}}=1$ và ${\phi }_1+{\phi }_2=60°$ nên F chính là phép quay tâm $O_1$ góc quay 60$°$

Do đó: $Q_{(O_1;60°)}\left(O_2\right)=O_3$ nên tam giác $O_1{O}_2{O}_3$ là tam giác đều

III. Bài tập áp dụng

Bài 1:

Bài 2:

a. Tìm tập hợp các điểm c khi D thay đổi

b. Tìm tập hợp các điểm I khi c và D thay đổi như trong câu a

Bài 3:

A. AIFD

B. BCFI

C. CIEB

D. DIEA

Bài 4:

A. x - y + 3 = 0

B. x + y - 3 = 0

C. x + y + 3 = 0

D. x - y + 2 = 0

Bài 5:

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (-2; -3) và B (4; 1). Phép đồng dạng tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến điểm A thành A', biến điểm B thành B'. Tính độ dài A'B'

Bài 7:

A. Thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng

B. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1

C. Phép vị tự có tính chất bảo toàn khoảng cách

D. Phép vị tự không là phép dời hình

Bài 8:

A. Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{AM}$

B. Phép đối xứng trục MP

C. Phép quay tâm A góc quay 180 độ

D. Phép quay tâm O góc quay -180 độ

Bài 9:

A. Phép tịnh tiến và phép đồng nhất

B. Phép tịnh tiến và phép quay

C. Phép dời hình và phép vị tự tỉ số $k=\frac{1}{3}$

D. Phép tịnh tiến và phép vị tự tỉ số k = -3

Bài 10:

Ảnh của điểm A (-2; 1) qua phép đồng dạng F là:

A. (6; 10)

B. (10; 6)

C. (6; -10)

D. (-6; 10)