Phép vị tự đầy đủ | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Công thức phép vị tự - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

* Định nghĩa: điểm I cố định và một số thực k không đổi, $k\ne 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’, sao cho $\overrightarrow{IM\text{'}}=k\overrightarrow{IM}$ được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k và kí hiệu là V_(I,k) (I được gọi là tâm vị tự).

* Nhận xét:

- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

- Phép vị tự tỉ số k = 1 chính là phép đồng nhất.

- Phép vị tự tâm I tỉ số k = -1 chính là phép đối xứng qua tâm I.

- $M\text{'}=V_{\left(I;k\right)}\left(M\right)\iff M=V_{\left(I;\frac{1}{k}\right)}(M\text{'})$

* Tính chất:

- Biến đường thẳng không qua tâm vị tự đường thẳng song song với nó.

- Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k| đoạn thẳng ban đầu.

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|.

- Biến góc thành góc bằng với góc ban đầu.

- Biến tia thành tia.

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.

2. Công thức

Cho điểm M(x₀; y₀). Phép vị tự tâm I(a; b), tỉ số k biến điểm M thành M’ có tọa độ (x’; y’) thỏa mãn: $\begin{array}{c}x\text{'}-a=k\left(x_0-a\right)\\ y\text{'}-b=k\left(y_0-b\right)\end{array}$

Đối với phép vị tự tâm O biến M thành M’ thì $\begin{array}{c}x\text{'}=k{x}_0\\ y\text{'}=k{y}_0\end{array}$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Tìm ảnh A’ của điểm A(3; 4) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I, tỉ số k.

Lời giải

a) Ta có  V_{(1; 2)}(A) = A’(x’;y’)

nên $\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_A-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_A-y_I\right)\end{array}$$\iff \begin{array}{c}x\text{'}-1=2.\left(3-1\right)\\ y\text{'}-2=2.\left(4-2\right)\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x\text{'}=5\\ y\text{'}=6\end{array}\Rightarrow A\text{'}\left(5;6\right)$

Vậy tọa độ điểm A’(5;6).

b) Gọi đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 2

Ta có: I không nằm trên đường thẳng d (vì 1 – 2.2 + 1 = -2)

Nên d’ song song với d. Khi đó phương trình d’ có dạng: x – 2y + c = 0  (c khác 1)

Lấy điểm $M\left(1;1\right)\in d$, ta có $V_{(I;2)}\left(M\right)=M’\in d’$.

Tọa độ điểm M’(x’;y’): $\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_M-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_M-y_I\right)\end{array}$

$\iff \begin{array}{c}x\text{'}-1=2.\left(1-1\right)\\ y\text{'}-2=2.\left(1-2\right)\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=1\\ y\text{'}=0\end{array}\Rightarrow M\text{'}\left(1;0\right)$

Vì $M\text{'}\in d$ nên 1 – 2.0 + c = 0, suy ra c = -1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng d’: x – 2y – 1 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)²  = 4. Tìm ảnh (C') của (C) qua phép vị tự tâm I(-1; 2), tỉ số k = 3?

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm A(1;2), kính R = 2.

Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3 nên (C’) có bán kính R’ = 3.2 = 6 và tâm A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = 3.

Ta có A’(x’; y’) = V_(I;3)(A)

Tọa độ điểm A’:

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}x\text{'}-x_I=k\left(x_A-x_I\right)\\ y\text{'}-y_I=k\left(y_A-y_I\right)\end{array}\iff \begin{array}{c}x\text{'}+1=3\left(1+1\right)\\ y\text{'}-2=3\left(2-2\right)\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}\iff A\text{'}\left(5;2\right)\end{array}$

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x – 5)² + (y – 2)²  = 36.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. A(1;2)

B. A(1;7)

C. A(-1;-2)

D. A(-1;-7)

Câu 2.

A. -3x + y – 9 = 0 

B. 3x – y – 10 = 0

C. 9x – 3y + 15 = 0

D. 9x – 3y + 10 = 0

Câu 3. 

A. x² + y² + 6x – 16y + 4 = 0

B. x² + y² – 6x + 16y – 4 = 0

C. (x + 3)² + (y – 8)² = 20

D. (x – 3)² + (y + 8)² = 20

Đáp án: