Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn - Toán lớp 11

1. Tổng hợp lý thuyết

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x, y là biến)

${\left(ax+by\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(ax\right)}^{n-k}{\left(by\right)}^k$

- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{n-k}{y}^k$

- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển: $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

2. Các công thức

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: ${\left(a{x}^p+b{x}^q\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(a{x}^p\right)}^{n-k}{\left(b{x}^q\right)}^k$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{np-pk+qk}$

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{q-p}$

Vậy số hạng chứa x^m là: $C_n^k{a}^{n-k}.b^k{x}^m$ với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ  (p, q là các hằng số)

Ta có: $P\left(x\right)={\left(a+b{x}^p+c{x}^q\right)}^n$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{\left(b{x}^p+c{x}^q\right)}^k$

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được số hạng chứa x^m.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Lời giải

Khai triển: ${\left(2–3x\right)}^{20}=\sum _{k=0}^{20}{C}_{20}^k{.2}^{20-k}{\left(-3x\right)}^k$

Số hạng thứ k + 1 của khai triển là: $T_{k+1}=C_{20}^k{.2}^{20-k}{\left(-3x\right)}^k$

Cần tìm số hạng thứ 6 nên k = 5.

Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là: $T_6=C_{20}^5{2}^{20-5}{\left(-3x\right)}^5=-C_{20}^5{2}^{15}{3}^5{x}^5$.

Ví dụ 2:

Lời giải

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5}\right)}^{12}={\left(x^{-3}+x^{\frac{5}{2}}\right)}^{12}\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k.{\left(x^{-3}\right)}^{12-k}{\left(x^{\frac{5}{2}}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k.x^{-36+3k+\frac{5}{2}k}\end{array}$

Cần tìm số hạng chứa x⁸ nên $-36+3k+\frac{5}{2}k=8\iff k=8$

Vậy số hạng chứa x⁸ trong khai triển là $C_{12}^8{x}^8=495x^8$.