Anonymous

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất - Toán lớp 11

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất - Toán lớp 11

1. Lí thuyết

* Công thức nghiệm cơ bản

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $m| \leq 1$ . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x = m \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \arcsin m + k 2 π \\ x = π - \arcsin m + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l} \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π (k \in ℤ) \\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) \\ \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) \end{array}$

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $m| \leq 1$ . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos α$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x = m$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \arccos m + k 2 π \\ x = - \arccos m + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l} \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) \\ \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π (k \in ℤ) \\ \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π (k \in ℤ) \end{array}$

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: $x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan α$ $\Leftrightarrow x = α + k π (k \in ℤ)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x = m \Leftrightarrow x = \arctan m + k π (k \in ℤ)$

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: $x \neq k π (k \in ℤ)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot α$ $\Leftrightarrow x = α + k π (k \in ℤ)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x = m \Leftrightarrow x = arccot m + k π (k \in ℤ)$

* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất - Toán lớp 11 (ảnh 1)

2. Công thức

Khi đã cho số m, ta có thể tìm các giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin^-1; cos^-1; tan^-1.

Bước 1. Chỉnh chế độ rad hoặc độ

- Muốn tìm số đo radian:

ta ấn qw4 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw22 (đối với Casio fx - 580VN X)

- Muốn tìm số đo độ:

ta ấn qw3 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw21 (đối với Casio fx - 580VN X)

Bước 2. Tìm số đo góc

Tìm góc $α$ khi biết sin của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt qj m =.

Tương tự đối với cos và tan.

Chú ý: Muốn tìm góc $α$ khi biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)=.

Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\cos (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

c) $\cot 2 x = \sqrt{3}$

Lời giải

a) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{π}{4}$ (Bấm máy SHIFT + SIN + $\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = \frac{π}{4} + k 2 π; x = \frac{3 π}{4} + k 2 π; k \in ℤ$ .

b) $\cos (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos (x - \frac{π}{3}) = \cos \frac{π}{3}$ (Bấm máy SHIFT + COS + $\frac{1}{2}$ )

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x - \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ x = k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = \frac{2 π}{3} + k 2 π; x = k 2 π; k \in ℤ$ .

c) $\cot 2 x = \sqrt{3}$

Điều kiện xác định: $\sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq k π \Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$ .

Ta có $\cot 2 x = \cot \frac{π}{6}$ (Bấm máy SHIFT + Tan + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ )

$\Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{6} + k π$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}; k \in ℤ$ .

Ví dụ 2:

a) $\cos (2 x - \frac{π}{3}) = \cos (x + \frac{π}{6})$

b) $\tan (3 x + \frac{π}{4}) = \tan x$

Lời giải

a) $\cos (2 x - \frac{π}{3}) = \cos (x + \frac{π}{6})$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x - \frac{π}{3} = x + \frac{π}{6} + k 2 π \\ 2 x - \frac{π}{3} = - x - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ 3 x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{3} \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x = \frac{π}{2} + k 2 π; x = \frac{π}{18} + \frac{k 2 π}{3}; k \in ℤ$ .

b) Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l} \cos (3 x + \frac{π}{4}) \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 3 x + \frac{π}{4} \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq \frac{π}{12} + \frac{k π}{3} \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \end{array} (k \in ℤ)$