50 bài tập về Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp (có đáp án 2024) chi tiết nhất

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp chi tiết nhất - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

- Hoán vị của n phần tử: P_n = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

- Chỉnh hợp chập k của n ($0\le k\le n$): $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$

- Tổ hợp chập của n ($0\le k\le n$): $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{A_n^k}{k!}$

- Tính chất của tổ hợp:

$\begin{array}{l}{C}_n^k=C_n^{n-k},(0\le k\le n)\\ C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1},(1\le k\le n)\end{array}$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa về các phương trình, bất phương trình đã học và giải quyết.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

a) $2A_x^2=C_x^{x-1}+23x$

b) $3A_n^2-A_{2n}^2+42=0$

c) $C_{x+1}^{x-2}+2C_{x-1}^3=7(x-1)$

Lời giải

a) $2A_x^2=C_x^{x-1}+23x$

Điều kiện: $\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\in \mathbb{N}\end{array}$

Phương trình trên tương đương với:

$2\frac{x!}{(x-2)!}=\frac{x!}{(x-1)!.1!}+23x$

$\begin{array}{l}\iff 2x\left(x-1\right)=x+23x\\ \iff 2x^2-2x-24x=0\\ \iff 2x^2-26x=0\\ \iff x^2-13x=0\\ \iff \begin{array}{l}x=0\left(Loại\right)\\ x=13\end{array}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 13.

b) $3.A_n^2-A_{2n}^2+42=0$

Điều kiện: $\begin{array}{l}n\ge 2\\ n\in \mathbb{N}\end{array}$

Phương trình trên tương đương với

$\begin{array}{l}3\frac{n!}{(n-2)!}-\frac{\left(2n\right)!}{(2n-2)!}+42=0\\ \iff 3n(n-1)-2n(2n-1)+42=0\\ \iff 3n^2-3n-4n^2+2n+42=0\\ \iff -n^2-n+42=0\\ \iff -\left(n+7\right)\left(n-6\right)=0\\ \iff \begin{array}{l}n=6\\ n=-7\left(Loại\right)\end{array}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là: n = 6.

c) $C_{x+1}^{x-2}+2C_{x-1}^3=7(x-1)$

Điều kiện: $\begin{array}{l}x-1\ge 3\\ x\in \mathbb{N}\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 4\\ x\in \mathbb{N}\end{array}$

Ví dụ 2:

a) $A_n^3+15<15n$

b) $A_n^3<A_n^2+12$

Lời giải

a) Điều kiện: $n\ge 3,n\in \mathbb{N}$

Ta có: $A_n^3+15<15n$

$\begin{array}{l}\iff \frac{n!}{(n-3)!}+15-15n<0\\ \iff n(n-1)(n-2)-15(n-1)<0\\ \iff (n-1)\left(n^2-2n-15\right)<0\\ \iff (n-1)(n+3)(n-5)<0\end{array}$

Vì nên n – 1 > 0 và n + 3 > 0

Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 và n = 4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3; n = 4.

b) Điều kiện: $n\ge 3,n\in N$.

$\begin{array}{l}{A}_n^3<A_n^2+12\\ \iff \frac{n!}{\left(n-3\right)!}<\frac{n!}{\left(n-2\right)!}+12\\ \iff n(n-1)(n-2)<n(n-1)+12\\ \iff n^3-3n^2+2n<n^2-n+12\\ \iff n^3-4n^2+3n-12<0\\ \iff (n-4)\left(n^2+3\right)<0\\ \iff n<4\end{array}$

Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3.

Ví dụ 3.

Lời giải

Gọi số đỉnh của đa giác là n. Điều kiện: $n\in \mathbb{N}$ và $n>3$.

Vậy số cạnh của đa giác cũng là n.

Số đoạn thẳng có hai đầu mút từ n đỉnh trên là $C_n^2$ đoạn thẳng

Do đó số đường chéo của đa giác là $C_n^2-n$.

Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có:

$\begin{array}{l}{C}_n^2-n=2n\\ \iff \frac{n!}{2!.(n-2)!}=3n\\ \iff \frac{n(n-1)}{2}=3n\\ \iff n^2-n=6n\\ \iff n^2-7n=0\\ \iff \begin{array}{l}n=0\left(Loại\right)\\ n=7\end{array}\end{array}$

Vậy đa giác có 7 cạnh.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. 6

B. 5

C. 3

D. 4

Câu 2.

A.{-1}

B. {3}

C.{-1;3}

D.{1}

Câu 3.

A. Một số khác

B. x = 6

C. x = 5

D. x = 4

Câu 4.

A.{0}

B.{-5; 5}

C.{5}

D.{-5; 0; 5}

Câu 5.

A. n chia hết cho 7

B. n chia hết cho 5

C. n chia hết cho 2

D. n chia hết cho 3

Câu 6.

A. x = 5

B. x = 11

C. x = 11; x = 5

D. x = 10; x = 2

Câu 7.

A. 13

B. 11

C. 10

D. 12

Câu 8.

A. 13

B. 10

C. 12

D. 11

Câu 9.

A. 18564

B. 64152

C. 192456

D. 194265

Câu 10.

A. $\frac{29}{51}$

B. $\frac{297}{512}$

C. $\frac{97}{12}$

D. $\frac{279}{215}$

Câu 11.

A. $0\le n\le 2$

B. $1\le n\le 5$

C. $2\le n\le 5$

D. $2\le n<4$

Câu 12.

A. $2\le n\le 5$

B. $0\le n\le 2$

C. $1\le n\le 5$

D. $2\le n<4$

Câu 13.

A. $n\ge 2$

B. $n\ge 3$

C. $n\ge 5$

D. $n\ge 4$

Câu 14.

A. x = 3; x = 4

B. x = 3

C. x = 2; x = 3; x = 4

D. x = 4

Câu 15.

A. 10

B. 7

C. 8

D. 9

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
B	B	C	C	A	B	B	D	C	B	C	D	A	A	B