Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (2024) chi tiết nhất

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) (u_n) là cấp số cộng khi $u_{n+1}=u_n+d,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (d gọi là công sai)

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

2. Công thức

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

b) Tìm số hạng thứ 2021 của cấp số cộng.

c) Số – 488 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Số hạng tổng quát:

u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1).(– 3) = – 3n + 4.

b) Số hạng thứ 2021 của cấp số cộng:

u₂₀₂₁ = – 3.2021 + 4 = – 6059.

c) Gọi số hạng thứ k là số – 488, ta có: u_k = – 3k + 4 = – 488. Suy ra k = 164.

Vậy số – 488 là số hạng thứ 164.

Ví dụ 2:

a) Tìm u₁; d?

b) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Số –1372,5 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{u}_2+u_3=20\\ u_5+u_7=-29\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}{u}_1+d+u_1+2d=20\\ u_1+4d+u_1+6d=-29\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}2u_1+3d=20\\ 2u_1+10d=-29\end{array}\\ \iff \begin{array}{l}d=-7\\ u_1=\frac{41}{2}\end{array}\end{array}$

Vậy $u_1=\frac{41}{2};d=-7$.

b) Số hạng tổng quát:

$u_n=u_1+\left(n-1\right)d=\frac{41}{2}+\left(n-1\right)\left(-7\right)=-7n+\frac{55}{2}$

c) Gọi số hạng thứ k là số – 1372,5, ta có:

$u_k=-7k+\frac{55}{2}=-1372,5\iff k=200$.

Vậy số – 1372,5 là số hạng thứ 200.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1:

a) Tìm x biết: x2 + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng.

b) Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Tính giá trị của biểu thức P = x2 + y2.

Lời giải

a) Ta có: x2 + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng

⇔ x 2 + 1 + 1 − 3 x = 2 ( x − 2 )

⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0

⇔ x = 2; x = 3

Vậy x = 2, x = 3 là những giá trị cần tìm.

b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có

x = (− 2 + 6)/ 2 = 2 và 6 = (x + y)/ 2

⇔ x = 2 và y = 10

Vậy P = x2 + y2 = 22 + 102 = 104.

Bài 2: Chứng minh rằng:

a) Nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a2 – bc, y = b2 – ca, z = c2 – ab.

b) Nếu phương trình x3 – ax2 + bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab = 2a3 + 27c.

Lời giải

a) a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b

Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y.

Ta có 2y = 2b2 – 2ca

Và x + z = a2 + c2 - b(a + c)

= (a + c)2 – 2ac – 2b2

= 4b2 – 2ac – 2b2

= 2b2 – 2ac = 2y

Khi đó ta được: y = x + z 2

Vậy ta có điều phải chứng minh. b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng khi đó: x1 + x3 = 2x2 (1)

Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c

= (x – x1)(x – x2)(x – x3)

= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3

Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2)

Từ (1) và (2), ta được 3 x 2 = a ⇔ x 2 = a/3

Vì phương trình đã cho có nghiệm x 2 = a/3, tức là: (a/3)3 − a(a/2) 2 + b(a/3) − c = 0

⇔ − 2 a 3/ + ba/3 − c = 0

⇔ 9ab = 2a3

Bài 3: Dãy số 3; 6; 9; 12; 15 là một cấp số cộng vì sao?

Bài 4: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = -2 và công sai d = 7. Tính số hạng tổng quát?

Bài 5: Cho cấp số cộng u ( n) với điều kiện d = 3, u1 = - 1. TÍnh S ( 100 )

Bài 6: Cho cấp số cộng u ( n ) có tổng 100 số hạng đầu bằng 2400, u1 = 1. Tính công sai d của cấp số cộng bằng bao nhiêu?

Bài 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng của bình phương của chúng bằng 120.