Công thức tính xác suất và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Trọn bộ công thức tính xác suất đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

I. Lý thuyết xác suất

a) Công thức cộng xác suất

- Nếu $A\cap B=\varnothing$ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

- Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

- Nếu các biến cố A₁ ; A₂; A₃ ; _… A_n đôi một xung khắc với nhau thì

- Công thức tính xác suất của biến cố đối: $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

- Mở rộng: Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:

$P\left(A\cup B\right)$$=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

b) Công thức nhân xác suất

- Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.

- Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$

* Chú ý:

Nếu A và B độc lập thì A và $\overline{B}$ độc lập, B và $\overline{A}$ độc lập, $\overline{B}$ và $\overline{A}$ độc lập. Do đó nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức

$\begin{array}{l}P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right).P\left(\overline{B}\right)\\ \\ P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)\\ \\ P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)\end{array}$

II. Các dạng toán tính xác suất

Dạng 1: Tính xác suất của biến cố xung khắc, biến cố đối

Phương pháp giải:

+ Tính gián tiếp xác suất thông qua biến cố đối.

- Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu $\left.\Omega \right|$

- Xác định biến cố A, từ đó suy ra biến cố $\overline{A}$

- Tính số phần tử tập mô tả biến cố $\left.{\Omega }_{\overline{A}}\right|$ và tính xác suất $P\left(\overline{A}\right)=\frac{\left.{\Omega }_{\overline{A}}\right|}{\left.\Omega \right|}$

- Xác suất biến cố A là $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)$.

+ Tính biến cố xung khắc:

- Xác định biến cố xung khắc

- Tính biến cố xung khắc theo công thức cộng xác suất.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

a) Lấy được ít nhất một viên bi màu vàng.

b) Lấy được đủ 2 màu.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: $\left.\Omega \right|=C_{20}^3$

a) Gọi A là biến cố: “Lấy được ít nhất một viên màu vàng”

Thì $\overline{A}$ là biến cố: “Không lấy được màu vàng”

Số cách lấy 3 viên bi không có màu vàng là: $\left.\overline{A}\right|=C_{12}^3$

Xác suất để lấy được ít nhất một viên màu vàng là: $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{C_{12}^3}{C_{20}^3}=\frac{46}{57}$.

b) Gọi B là biến cố: “Lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng”

C là biến cố: “Lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng”

Khi đó là biến cố: “Lấy được 3 viên đủ 2 màu”

Ta thấy B và C là hai biến cố xung khắc. $P\left(B\cup C\right)=P\left(B\right)+P\left(C\right)$

Số cách lấy được 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng: $\left.B\right|=C_{12}^1.C_8^2=336$

Số cách lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng: $\left.C\right|=C_{12}^2.C_8^1=528$

Xác suất để lấy được đủ 2 màu là: $P\left(B\cup C\right)=P\left(B\right)+P\left(C\right)=\frac{336}{C_{20}^3}+\frac{528}{C_{20}^3}=\frac{72}{95}$.

Ví dụ 2.

a) Tổng hai số trên thẻ là một số lẻ.

b) Tích hai số trên thẻ là một số chẵn.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: $\left.\Omega \right|=C_{20}^2$

a) Gọi A là biến cố: “Tổng hai số trên thẻ là số lẻ”

Số cách chọn sao cho tổng hai số trên thẻ là số lẻ, tức là chọn được 1 số lẻ và 1 số chẵn: $\left.A\right|=C_{10}^1.C_{10}^1$.

Xác suất để tổng hai số trên thẻ là số lẻ: $P\left(A\right)=\frac{C_{10}^1.C_{10}^1}{C_{20}^2}=\frac{10}{19}$.

b) Gọi B là biến cố: “Tích hai số trên thẻ là số chẵn”

Khi đó $\overline{B}$ là biến cố: “Tích hai số trên là số lẻ”

Số cách chọn sao cho tích hai số là số lẻ, tức là chọn được cả hai thẻ đều là lẻ: $\left.\overline{B}\right|=C_{10}^2$

Xác suất để chọn sao cho tích hai số trên thẻ là số chẵn: $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{C_{10}^2}{C_{20}^2}=\frac{29}{38}$.

Dạng 2: Tính xác suất sử dụng công thức cộng và nhân

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn.

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.

Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

a) Xuất hiện mặt 6 chấm trong cả ba lần

b) Xuất hiện các mặt có số chấm giống nhau

c) Xuất hiện mặt 3 chấm ít nhất 1 lần

Lời giải

a) Xác suất để 1 lần súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{1}{6}$

Xác suất để 3 lần liên tiếp xuất hiện mặt 6 chấm là: $\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}={\left(\frac{1}{6}\right)}^3=\frac{1}{216}$.

b) Xác suất để 3 lần liên tiếp xuất hiện mặt có số chấm giống nhau:

${\left(\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(\frac{1}{6}\right)}^3$$+{\left(\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(\frac{1}{6}\right)}^3=\frac{1}{64}$ (dựa vào câu a)

c) Xác suất để 1 lần súc sắc không xuất hiện mặt 3 chấm là $\frac{5}{6}$

Xác suất để 3 lần liên tiếp không xuất hiện mặt 3 chấm là: $\frac{5}{6}.\frac{5}{6}.\frac{5}{6}={\left(\frac{5}{6}\right)}^3$

Xác suất để xuất hiện mặt 3 chấm ít nhất 1 lần là: $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{91}{216}$.

Ví dụ 2.

a) Cả ba người đều bắn trúng

b) Đúng 2 người bắn trúng

c) Không người nào bắn trúng

d) Ít nhất một người bắn trúng

Lời giải

Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,9

B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7

C là biến cố: “Người thứ ba bắn trúng”; P(C) = 0,8

A, B, C là ba biến cố độc lập

Khi đó:

$\overline{A}$ là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; $P\left(\overline{A}\right)=1-0,9=0,1$

$\overline{B}$ là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; $P\left(\overline{B}\right)=1-0,7=0,3$

$\overline{C}$ là biến cố: “Người thứ ba bắn không trúng”; $P\left(\overline{C}\right)=1-0,8=0,2$

a) $A\cap B\cap C$ là biến cố: “Cả ba người bắn trúng”

Xác suất để cả ba người bắn trúng là:

$P\left(A\cap B\cap C\right)=P\left(A\right).P\left(B\right).P\left(C\right)=0,9.0,7.0,8=0,504.$

b) Gọi D là biến cố: “Đúng hai người bắn trúng”

Ta có: $D=\left(A\cap B\cap \overline{C}\right)\cup \left(A\cap \overline{B}\cap C\right)\cup \left(\overline{A}\cap B\cap C\right)$

Xác suất để có đúng hai người bắn trúng là:

P(D) = 0,9.0,7.0,2 + 0,9.0,3.0,8 + 0,1.0,7.0,8 = 0,398.

c) $E=\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C}$ là biến cố: “Không người nào người bắn trúng”

Xác suất để không người nào người bắn trúng là:

$P\left(E\right)=P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right).P\left(\overline{C}\right)=0,1.0,3.0,2=0,006$

d) $\overline{E}$ là biến cố: “Ít nhất một người bắn trúng”

Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là:

$P\left(\overline{E}\right)=1-P\left(E\right)=1-0,006=0,994.$

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. $P\left(A\right)=\frac{1}{2}$

B. $P\left(A\right)=\frac{3}{8}$

C. $P\left(A\right)=\frac{7}{8}$

D. $P\left(A\right)=\frac{1}{4}$

Câu 2.

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{4}{9}$

D. $\frac{5}{4}$

Câu 3.

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{7}{8}$

D. $\frac{1}{2}$

Câu 4.

A. $\frac{970}{1001}$

B. $\frac{139}{143}$

C. $\frac{31}{1001}$

D. $\frac{4}{143}$

Câu 5.

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{7}{16}$

C. $\frac{9}{16}$

D. $\frac{1}{4}$

Câu 6.

A. $\frac{135}{988}$

B. $\frac{3}{247}$

C. $\frac{244}{247}$

D. $\frac{15}{26}$

Câu 7.

A. $\frac{4610}{5236}$

B. $\frac{4516}{5236}$

C. $\frac{4651}{5236}$

D. $\frac{4615}{5236}$

Câu 8.

A. $P\left(A\right)=\frac{C_{20}^5}{C_{45}^5}$

B. $P\left(A\right)=\frac{20C_{25}^4}{C_{45}^5}$

C. $P\left(A\right)=\frac{20C_{44}^4}{C_{45}^5}$

D. $P\left(A\right)=1-\frac{C_{25}^5}{C_{45}^5}$

Câu 9.

A. $\frac{2}{15}$

B. $\frac{7}{15}$

C. $\frac{8}{15}$

D. $\frac{1}{15}$

Câu 10.

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{5}{18}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{13}{18}$

Câu 11.

A. 0,25

B. 0,75

C. 0,85

D. 0,5

Câu 12.

A. 0,42

B. 0,58

C. 0,88

D. 0,12

Câu 13.

A. 0,09

B. 0,91

C. 0,36

D. 0,06

Câu 14.

A. 0,29

B. 0,44

C. 0,21

D. 0,79

Câu 15.

A. 0,425

B. 0,325

C. 0,625

D. 0,525

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	C	C	A	C	C	D	D	C	D	D	A	B	B	B