Công thức phép đối xứng tâm đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức phép đối xứng tâm - Toán lớp 11

1. Lí thuyết

* Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M  khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

Từ định nghĩa suy ra: M’ = Đ_I(M)

$\iff \overrightarrow{IM\text{'}}+\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IM\text{'}}=-\overrightarrow{IM}.$

* Tính chất:

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Biến một vectơ thành 1 vectơ đối với nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến một góc thành một góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong hệ tọa độ Oxy, cho I(a;b) và M(x;y). Ta có: Đ_I(M) = M’(x’; y’) có biểu thức tọa độ: $\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x\\ y\text{'}=2b-y\end{array}$

Với tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0; 0), ta có M’(x’; y’) = Đ_O[M(x; y)] thì $\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=-y\end{array}.$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

c) Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải

a) Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O

Ta có: A’ = Đ_O(A) suy ra A’(2; -3).

b) Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

Ta có: d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: x − 2y + c = 0.

Lấy điểm $M\left(-5;0\right)\in d$. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$.

M’(x’,y’) = Đ_O(M) nên $\begin{array}{l}x\text{'}=-x_M=5\\ y\text{'}=-y_M=0\end{array}$

$M’\in d’\Rightarrow 5-2.0+c=0\iff c=-5$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y – 5 = 0.

c) Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O

Khi đó (C’) có bán kính R = 2 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O.

Ta có: I’(x’,y’) = Đ_O(I) nên $\begin{array}{l}x\text{'}=-x_I=-1\\ y\text{'}=-y_I=2\end{array}$. Suy ra I’(-1;2)

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)² + (y - 2)² = 4.

Ví dụ 2:

Lời giải

Cách 1:

Vì d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Nên d’ song song hoặc trùng với d. Phương trình d’ có dạng: 5x + 2y + c = 0.

Lấy điểm $M\left(1;-1\right)\in d$. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$

Đ_I(M) = M’(x’,y’) có tọa độ là: $\begin{array}{l}x\text{'}=2x_I-x_M\\ y\text{'}=2y_I-y_M\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=2.3-x=5\\ y\text{'}=2\left(-4\right)-\left(-1\right)=-7\end{array}$

$M\text{'}\in d\text{'}\Rightarrow 5.5+2.\left(-7\right)+c=0\iff c=-11$

Vậy phương trình đường thẳng d’: 5x + 2y – 11  = 0.

Cách 2:

Lấy M(x,y) bất kì thuộc d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I, khi đó $M\text{'}\in d\text{'}$

Đ_I(M) = M’ có tọa độ: $\begin{array}{l}x\text{'}=2.3-x\\ y\text{'}=2.\left(-4\right)-y\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x=6-x\text{'}\\ y=-8-y\text{'}\end{array}\iff M\left(6-x\text{'};-8–y\text{'}\right)$

Thay vào d ta được: 5(6 − x’) + 2(−8−y’) – 3 = 0

$\iff -5x\text{'}-2y\text{'}+11=0\iff 5x\text{'}+2y\text{'}-11=0$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 5x + 2y − 11 = 0.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. M’(-4; 2)

B. M’(2; -3)

C. M’(-2; 3)

D. M’(2; 3)

Câu 2.

A. 3x + 2y + 1 = 0 

B. -3x + 2y – 1 = 0

C. 3x + 2y – 1 = 0

D. 3x – 2y – 1 = 0

Câu 3.

A. (C'): (x – 2)² + y² = 1

B. (C'): (x + 2)² + y² = 1

C. (C'): x² + (y + 2)² = 1

D. (C'): x² + (y – 2)² = 1

Đáp án: