Quy tắc tính đạo hàm và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

A. Lý thuyết về đạo hàm

1) Đạo hàm của một hàm số lượng giác

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản	Đạo hàm các hàm hợp u = u(x)
(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1
$\left(x^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha .x^{\alpha -1}$ $\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{x^2};x\ne 0\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}};x>0\end{array}$	$\left(u^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha .u^{\text{'}}.u^{\alpha -1}$ $\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{u}\right)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{u^2}\\ {\left(\sqrt{u}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{2\sqrt{u}}\end{array}$

2) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-v^{\text{'}}u}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)

b) ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v^{\text{'}}}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$

Mở rộng:

${\left(u.v.\text{w}\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}.v.\text{w}+u.v^{\text{'}}.\text{w}+u.v.$

3) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó: ${y_x}^{\text{'}}={y_u}^{\text{'}}.{u_x}^{\text{'}}$

B. Phương pháp giải

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

C. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) y = 7 + x – x², với x₀ = 1

b) y = 3x² – 4x + 9, với x₀ = 1

Lời giải

a) y = 7 + x – x²

Ta có: y' = 1 – 2x

Vậy y'(1) = 1 – 2. 1 = –1.

b) y = 3x² – 4x + 9

Ta có: y' = 6x – 4

Vậy y'(1) = 6.1 – 4 = 2.

Ví dụ 2:

a) y = –x³ + 3x + 1

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x)

c) $y=x^2\sqrt{x}$

d) $y=\frac{2x+1}{1-3x}$

e) $y=\frac{2x^2-4x+1}{x-3}$

Lời giải

a) y’ = (–x³ + 3x + 1)’ = –3x² + 3

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x).

y’ = [(2x – 3)(x⁵ – 2x)]’

= (2x – 3)’.(x5 – 2x) + (x⁵ – 2x)’.(2x – 3)

= 2(x⁵ – 2x) + (5x⁴ – 2)(2x – 3)

= 12x⁵ – 15x⁴ – 8x + 6.

c) $y=x^2\sqrt{x}$

$y\text{'}={\left(x^2\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}={\left(x^2\right)}^{\text{'}}.\sqrt{x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}.x^2$

$=2x.\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.x^2$$=2x\sqrt{x}+\frac{1}{2}x\sqrt{x}$$=\frac{5x\sqrt{x}}{2}$.

d) $y=\frac{2x+1}{1-3x}$

$\Rightarrow y\text{'}={\left(\frac{2x+1}{1-3x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}\left(1-3x\right)-{\left(1-3x\right)}^{\text{'}}\left(2x+1\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$=\frac{2\left(1-3x\right)+3\left(2x+1\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$$=\frac{5}{{\left(1-3x\right)}^2}$.

e) $y=\frac{2x^2-4x+1}{x-3}$

$\Rightarrow y\text{'}=\frac{{\left(2x^2-4x+1\right)}^{\text{'}}\left(x-3\right)-{\left(x-3\right)}^{\text{'}}\left(2x^2-4x+1\right)}{{\left(x-3\right)}^2}$

$=\frac{\left(4x-4\right)\left(x-3\right)-\left(2x^2-4x+1\right)}{{\left(x-3\right)}^2}$$=\frac{2x^2-12x+11}{{\left(x-3\right)}^2}$

Ví dụ 3:

a) y = (x⁷ + x)²

b) y = (1 – 2x²)³

c) $y={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^3$

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

e) $y=\sqrt{1+2x-x^2}$

f) $y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$

Lời giải

a) y = (x⁷ + x)². Sử dụng công thức ${\left(u^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha .u^{\alpha -1}.u\text{'}$ (với u = x⁷ + x)

y' = 2(x⁷ + x).(x⁷ + x)’ = 2(x⁷ + x)(7x⁶ + 1).

b) y = (1 – 2x²)³. Sử dụng công thức ${\left(u^{\alpha }\right)}^{\text{'}}$với u = 1 – 2x²

y' = 3(1 – 2x²)².(1 – 2x²)’ = 3(1 – 2x²)²(– 4x) = – 12x(1 – 2x²)².

c) $y={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^3$

Bước đầu tiên sử dụng ${\left(u^{\alpha }\right)}^{\text{'}}$, với $u=\frac{2x+1}{x-1}$

$y\text{'}=3.{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2.{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^{\text{'}}$$=3.{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2.\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$$=-\frac{9{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}.$

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

y’ = (1 + 2x)’(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)’(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)’

y’ = 2(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(– 12x²)

y’ = 12 – 16x³ + 18x² – 24x⁵ + 18x – 24x⁴ + 36x² – 48x⁵ – 72x⁵ – 36x⁴ – 48x³ – 12x²

y’ = – 144x⁵ – 60x⁴ – 64x³ + 42x² + 18x + 12.

e) $y=\sqrt{1+2x-x^2}$. Sử dụng công thức ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\text{'}}$ với u = 1 + 2x – x²

$y\text{'}=\frac{{\left(1+2x-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$$=\frac{2-2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}}$$=\frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}$.

f) $y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$. Sử dụng ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}$ được:

$y\text{'}=\frac{{\left(1+x\right)}^{\text{'}}\sqrt{1-x}-{\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\text{'}}\left(1+x\right)}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\frac{{\left(1-x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1-x}}.\left(1+x\right)}{\left(1-x\right)}$

$=\frac{2\left(1-x\right)+\left(1+x\right)}{2\sqrt{1-x}.\left(1-x\right)}$$=\frac{3-x}{2\sqrt{1-x}\left(1-x\right)}$.

D. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. 2

B. 6

C. – 4

D. 3

Câu 2.

A. – 4x – 3

B. –4x + 3

C. 4x + 3

D. 4x – 3

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = (1 – x³)⁵ là:

A. y' = 5(1 – x³)⁴

B. y' = –15x²(1 – x³)⁴

C. y' = –3(1 – x³)⁴

D. y' = –5x²(1 – x³)⁴

Câu 4.

A. 4(x² – x + 1)⁴(2x – 1)

B. 5(x² – x + 1)⁴

C. 5(x² – x + 1)⁴(2x – 1)

D. (x² – x + 1)⁴(2x – 1)

Câu 5.

A. $-10x^4+\frac{1}{\sqrt{x}}$

B. $-10x^4+\frac{4}{\sqrt{x}}$

C. $-10x^4+\frac{2}{\sqrt{x}}$

D. $-10x^4-\frac{1}{\sqrt{x}}$

Câu 6.

A. y’ = 2

B. $y^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$

C. $y^{\text{'}}=-\frac{3}{{\left(x-1\right)}^2}$

D. $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Câu 7.

A. a – b = 2

B. a – b = –1

C. a – b = 1

D. a – b = –2

Câu 8.

A. y'(1) = –4

B. y'(1) = –5

C. y'(1) = –3

D. y'(1) = –2

Câu 9.

A. $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{2}$

B. $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{3}$

C. y'(0) = 1

D. y'(0) = 2

Câu 10.

A. $y^{\text{'}}=\frac{-x^2+2x}{{\left(1-x\right)}^2}$.

B. $y^{\text{'}}=\frac{x^2-2x}{{\left(1-x\right)}^2}$.

C. y’ = -2(x – 2)

D. $y^{\text{'}}=\frac{x^2+2x}{{\left(1-x\right)}^2}$

Câu 11.

A. $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{x}$

B. $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$

C. $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{x}$

D. $f^{\text{'}}\left(x\right)=x+\frac{\sqrt{x}}{2}$

Câu 12.

A. $f\text{'}\left(x\right)=x+\frac{1}{x}-2$

B. $f\text{'}\left(x\right)=x-\frac{1}{x^2}$

C. $f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$

D. $f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}$

Câu 13

A. a + b = –10

B. a + b = 5

C. a + b = –10

D. a + b = –12

Câu 14.

A. – 1

B. –2

C. 3

D. – 3

Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = x²(2x + 1)(5x – 3) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx² + cx. Khi đó a + b + c bằng:

A. 31

B. 24

C. 51

D. 34

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	B	C	C	C	C	B	A	A	B	D	D	D	A