Công thức tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn - Toán lớp 11

1. Tổng hợp lý thuyết

Xét khai triển: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(ax\right)}^{n-k}{\left(by\right)}^k$

- Số hạng thứ k + 1 của khai triển: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{n-k}{y}^k$

- Hệ số của số hạng thứ k + 1 của khai triển: $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

2. Các công thức

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p,q là các hằng số)

Ta có:

${\left(a{x}^p+b{x}^q\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{\left(a{x}^p\right)}^{n-k}{\left(b{x}^q\right)}^k=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k{x}^{np-pk+qk}$

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm $k=\frac{m-np}{q-p}$

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là: $C_n^k{a}^{n-k}.b^k$ với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ  (p,q là các hằng số)

Ta có: $P\left(x\right)={\left(a+b{x}^p+c{x}^q\right)}^n$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{\left(b{x}^p+c{x}^q\right)}^k$

$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}\sum _{j=0}^k{C}_k^j{\left(b{x}^p\right)}^{k-j}{\left(c{x}^q\right)}^j$

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x⁰.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển: (1 – 2x)=¹⁵¹⁵

Lời giải

Khai triển: ${\left(1–2x\right)}^{15}=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{\left(-2x\right)}^k$$=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{\left(-2\right)}^k{x}^k$

Cần tìm hệ số của x⁹ nên k = 9.

Vậy hệ số của x⁹ trong khai triển là: $C_{15}^9{\left(-2\right)}^9=-2562560$.

Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển: ${\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)}^6$

Lời giải

Khai triển:

$\begin{array}{l}{\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)}^6=\sum _{k=0}^6{C}_6^k{\left(2x\right)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^6{C}_6^k{2}^{6-k}{x}^{6-k}{\left(-1\right)}^k{\left(x^{-2}\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^6{C}_6^k{2}^{6-k}{\left(-1\right)}^k{x}^{6-3k}\end{array}$

Cần tìm hệ số không chứa x nên $6-3k=0\iff k=2$

Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: $C_6^2{2}^{6-2}.{\left(-1\right)}^2=240$.