50 bài tập về Phép tịnh tiến (có đáp án 2024) và cách giải

Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 11

I. Lý thuyết ngắn gọn

1.Trong mặt phẳng cho vectơ $\overrightarrow{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$, ký hiệu $T_{\overrightarrow{v}}$

$T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M\text{'}\iff \overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$

2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (x; y) và $\overrightarrow{v}=(a;b)$. Khi đó:

$M\text{'}(x\text{'};y\text{'})=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\iff \overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}\iff \begin{array}{l}x\text{'}-x=a\\ y\text{'}-y=b\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}$

3.Các tính chất của phép tịnh tiến:

- Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

- Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thằng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thằng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

II. Các dạng toán phép tịnh tiến

Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến

Phương pháp giải:

Ví dụ 1:

Lời giải

Gọi A′ (x′; y′) là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: $\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}$

Ta có $A\text{'}(x\text{'};y\text{'})=T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)$

$\Rightarrow \begin{array}{l}x\text{'}=1+3\\ y\text{'}=-1+4\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=4\\ y\text{'}=3\end{array}\Rightarrow A\text{'}(4;3)$

Ví dụ 2:

Lời giải

Lấy điểm M (x; y) tùy ý thuộc d, ta có: 2x – 3y + 5 = 0 (1)

Gọi $M\text{'}(x\text{'};y\text{'})=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)$

$\Rightarrow \begin{array}{l}x\text{'}=x+2\\ y\text{'}=y-4\end{array}\iff \begin{array}{l}x=x\text{'}-2\\ y=y\text{'}+4\end{array}$

Thay vào (1) ta được phương trình:

$2(x\text{'}-2)-3(y\text{'}+4)+5=0\Rightarrow 2x\text{'}-3y\text{'}-11=0$

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: 2x - 3y – 11 = 0

Dạng 2: Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh

Phương pháp giải:

Ví dụ 3:

Lời giải

Vì $\overrightarrow{v}$ có giá song song với Oy nên $\overrightarrow{v}=(0;k)k\ne 0$

Lấy $M(x;y)\in \text{d}\Rightarrow \text{3x+y-9=0 }$(1)

Gọi $M\text{'}(x\text{'};y\text{'})=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\Rightarrow \begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=y+k\end{array}$

Thay vào (1) ta được: 3x’ + y’ – k – 9 = 0

Do đó $T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)=d\text{'}:3x+y-k-9=0$

Mà A (2; 4) thuộc d, suy ra k=1

Vậy $\overrightarrow{v}=(0;1)$

Ví dụ 4:

Lời giải

Gọi $\overrightarrow{v}=(a;b)$

Lấy điểm M (x; y) tùy ý thuộc d, ta có: d: 2x – 3y + 3 = 0 (1)

Gọi $M\text{'}(x\text{'};y\text{'})=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)$

Ta có: $\begin{array}{l}x\text{'}=x+a\\ y\text{'}=y+b\end{array}\iff \begin{array}{l}x=x\text{'}-a\\ y=y\text{'}-b\end{array}$

Thay vào (1) được: 2x’ - 3y’ - 2a + 3b + 3 = 0

Suy ra: $-2a+3b+3=-5\iff 2a-3b=8$. Chuyển vế sai

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}=(2;-3)$ suy ra vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(3;2)$

Suy ra: $\stackrel{\rightharpoonup }{v}.\stackrel{\rightharpoonup }{u}=3a+2b=0$

Có hệ phương trình: $\begin{array}{l}2a-3b=8\\ 3a+2b=0\end{array}\iff \begin{array}{l}a=\frac{16}{13}\\ b=\frac{-24}{13}\end{array}$

Vậy $\overrightarrow{v}=\left(\frac{16}{13};\frac{-24}{13}\right)$

Dạng 3: Dùng phép tịnh tiến để giải các bài toán dựng hình

Phương pháp giải:

- Để dựng một điểm M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem M là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến

- Sử dụng kết quả: Nếu $T_{\stackrel{\rightharpoonup }{v}}\left(N\right)=M$ và $N\in H$ thì $N\in \left(H\text{'}\right)$, trong đó $(H\text{'})=T_{\overrightarrow{v}}\left(H\right)$ và kết hợp với M thuộc hình (K) để suy ra $M\in \left(H\text{'}\right)\cap \left(K\right)$

Ví dụ 5:

Lời giải:

Điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{BA}$. Khi đó điểm M’ vừa thuộc d1 vừa thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{BA}$

Từ đó có thể suy ra cách dựng:

-Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{BA}$

-M’ là giao điểm của d’ và d1

-Dựng điểm M là ảnh của điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{BA}$

Suy ra tứ giác ABMM’ chính là hình bình hành thoả mãn yêu cầu của đầu bài

Ví dụ 6:

Lời giải

Cách dựng:

-Dựng phân giác trong AP của góc A

-Dựng đường thẳng đi qua P song song với AC cắt AB tại M

-Dựng ảnh $N=T_{\overrightarrow{PM}}\left(C\right)$

Đường thẳng MN chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán

Dạng 4: Sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán tìm tập hợp điểm

Phương pháp giải:

Ví dụ 7:

Lời giải

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D

$\widehat{BCD}=90°$ nên DC // AH

Tương tự AD // CH

Suy ra: ADCH là hình bình hành

$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{OM}$

OM không đổi nên H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{OM}$. Do đó khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động trên đường tròn (O‘) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{OM}$

Ví dụ 8:

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCKhi đó theo định lí sin ta có $\frac{BC}{\sin \alpha }=2R$ không đổi

Vậy $\frac{BC}{2\sin \alpha }=OA=R$ không đổi nên O di động trên đường tròn tâm A bán kính $\frac{BC}{2\sin \alpha }=AO$

Ta có OB = OC = R không đổi và $\widehat{BOC}=2\alpha$ không đổi suy ra $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\frac{180°-2\alpha }{2}$ không đổi

Mặt khác $\overrightarrow{BC}$ có phương không đổi nên $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ cũng có phương không đổi

Đặt $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{v_2}$ không đổi thì $T_{\overrightarrow{v_1}}\left(O\right)=B,T_{\overrightarrow{v_2}}\left(O\right)=C$

Vậy tập hợp điểm B là đường tròn $\left(A_1;\frac{BC}{2\sin \alpha }\right)$ ảnh của $\left(A;\frac{BC}{2\sin \alpha }\right)$ qua $T_{\overrightarrow{v_1}}$ và tập hợp điểm C là đường tròn $\left(A_2;\frac{BC}{2\sin \alpha }\right)$ ảnh của $\left(A;\frac{BC}{2\sin \alpha }\right)$ qua $T_{\overrightarrow{v_2}}$

III. Bài tập áp dụng

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10: