Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

Trong đó, u₁ là số hạng đầu tiên, q là công bội của cấp số nhân.

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

2. Công thức

- Tổng n số hạng đầu tiên: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

- Công thức tính nhanh tổng:

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

b) Tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ +u₇ +…+ u₉₉.

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_2=10\\ u_5=1250\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_{1}q=10\\ u_1{q}^4=1250\end{array}\iff \begin{array}{l}{q}^3=125=5^3\\ u_{1}q=10\end{array}\iff \begin{array}{l}q=5\\ u_1=2\end{array}$

Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

$S_{20}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{2.\left.1-5^{20}\right]}{1-5}=\frac{1}{2}.\left(5^{20}-1\right)$

b) Dãy số u₁; u₃; u₅; u₇; … u₉₉ là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ = 2 và công bội $q\text{'}=\frac{u_3}{u_1}=q^2=25$.

Dãy số đó có: $\frac{99-1}{2}+1=50$ số hạng

Tổng

$S=u_1+u_3+u_5+u_7+\dots +u_{99}=\frac{2\left(1-{25}^{50}\right)}{1-25}=\frac{1}{12}.\left({25}^{50}-1\right)=\frac{1}{12}.\left(5^{100}-1\right)$.

Lời giải