50 bài tập về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm (có đáp án 2024) và cách giải

1. Lý thuyết

a) Vi phân

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b) và có đạo hàm tại $x\in (a;b)$. Giả sử $\Delta x$ là số gia của x sao cho $x+\Delta x\in (a;b)$.

- Tích $f\text{'}\left(x\right).\Delta x$ (hay $y.\Delta x$) được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ứng với số gia $\Delta x$, kí hiệu là df(x) hay dy.

Vậy ta có: $dy=y\text{'}.\Delta x$ hoặc $df\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right).\Delta x$.

b) Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x). Hàm số f’(x) còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f(x). Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x), kí hiệu là y’’ hay f’’(x). Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x), kí hiệu là y’’’ hay f’’’(x). Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) là đạo hàm cấp (n) của hàm số f(x), kí hiệu là y⁽ⁿ⁾ hay f⁽ⁿ⁾(x), tức là ta có: $y^{\left(n\right)}=\left(y^{(n-1)}\right)\text{'}(n\in N,n>1).$

c) Ý nghĩa của đạo hàm

- Ý nghĩa hình học

+ Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng (C) và một điểm cố định M₀ trên (C), M là điểm di động trên (C). Khi đó M₀ M là một cát tuyến của (C).

Định nghĩa: Nếu cát tuyến M₀ M có vị trí giới hạn M₀T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M₀ thì đường thẳng M₀T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M₀ . Điểm M₀ được gọi là tiếp điểm.

+ Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại$x_0\in \left(a;b\right)$, gọi (C) là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của (C) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀))

Phương trình tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)) là: y = f’(x₀).(x – x₀) + f(x₀)

- Ý nghĩa vật lí

Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số s = f(t) tại t₀.

v(t₀) = s’(t₀) = f’(t₀)

Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình: Q = f(t), với f(t) là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số Q = f(t) tại t₀ .

I(t₀) = Q’(t₀) = f’(t₀)

d) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số s = f(t) tại t là a(t) = f’’(t) .

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa để tìm vi phân của hàm số y = f(x) là: dy = f’(x)dx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) $y=x^2+3\sqrt{x}+\frac{1}{x}.$

b) $y=\sqrt{x^3+x}.$

c) $y=\frac{x^2-2x+5}{x+1}.$

Lời giải

a) $y=x^2+3\sqrt{x}+\frac{1}{x}.$

Ta có: $dy={\left(x^2+3\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}dx=\left(2x+\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\right)dx$.

b) $y=\sqrt{x^3+x}.$

Ta có : $dy={\left(\sqrt{x^3+x}\right)}^{\text{'}}dx$$=\frac{{\left(x^3+x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{x^3+x}}dx$$=\frac{3x^2+1}{2\sqrt{x^3+x}}dx$.

c) $y=\frac{x^2-2x+5}{x+1}.$

Ta có $dy={\left(\frac{x^2-2x+5}{x+1}\right)}^{\text{'}}dx$$=\frac{(2x-2)(x+1)-\left(x^2-2x+5\right)}{{(x+1)}^2}dx$ $=\frac{x^2+2x-7}{\sqrt{x^2+3}}dx$.

Ví dụ 2:

a) y = cos 3x.sin 2x.

b) $y=f\left(x\right)=\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}$.

Lời giải

a) y = cos 3x.sin 2x.

y’ = (cos 3x)’sin 2x + cos 3x(sin 2x)’

= – 3sin 3x.sin 2x + 2cos 3x.cos 2x

Suy ra dy = (– 3sin3x.sin2x + 2 cos3x.cos2x)dx

b) $y=f\left(x\right)=\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin \sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\cos \sqrt{x}-\sin \sqrt{x}\right)$

Suy ra $dy=\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(\cos \sqrt{x}-\sin \sqrt{x}\right)dx$

Dạng 2: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của đạo hàm cấp 1

Tính đạo hàm cấp 3 là đạo hàm của đạo hàm cấp 2

Tương tự: Tính đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) y = xsin2x, (y’’’)

b) y = cos²x, (y’’’)

c) $y=\frac{3x-1}{x+2},\left(y^{\left(4\right)}\right)$

Lời giải

a) y = xsin2x, (y’’’)

Ta có y’ = x’sin 2x + x .(sin 2x)’ = sin 2x + 2xcos 2x

y’’ = (sin 2x)’ + (2x)’cos 2x + 2x(cos 2x)’ = 4cos2x – 4xsin 2x

y’’’ = 4(cos 2x)’ – (4x)sin 2x – 4x(sin 2x)’

= – 8sin 2x – 4sin 2x – 8cos 2x

= – 12sin 2x – 8cos 2x

b) y = cos²x, (y’’’)

Ta có: $y={\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)$

y’ = – sin 2x

y’’ = – 2cos 2x

y’’’ = 4sin 2x

c) $y=\frac{3x-1}{x+2},\left(y^{\left(4\right)}\right)$

$y=\frac{7}{{(x+2)}^2}$

$y\text{'}\text{'}=\frac{-7\left.{(x+2)}^2\right]\text{'}}{{(x+2)}^4}=\frac{-14}{{(x+2)}^3}$

$y\text{'}\text{'}\text{'}=\frac{14\left.{(x+2)}^3\right]\text{'}}{{(x+2)}^6}=\frac{42}{{(x+2)}^4}$

$y^{\left(4\right)}=\frac{-42\left.{(x+2)}^4\right]\text{'}}{{(x+2)}^8}=\frac{-168}{{(x+2)}^5}$

Ví dụ 2:

a) y = x⁴ + 4 x³ – 3x² + 1

b) $y=\frac{1}{x+3}$

Lời giải

a) y = x⁴ + 4 x³ – 3x² + 1

y’ = 4x³ + 12 x² – 6x

y’’ = 12x² + 24x – 6

y’’’ = 24 x + 24

y(4) = 24

Suy ra y(5) = 0, … y(n) = 0.

b) $y=\frac{1}{x+3}$

Ta có: $y\text{'}=\frac{-1}{{(x+3)}^2}=(-1)\frac{1!}{{(x+3)}^2};$

$y\text{'}\text{'}={(-1)}^2.\frac{1.2}{{(x+3)}^3}={(-1)}^2.\frac{2!}{{(x+3)}^3}$

Dự đoán: $y^n={\left(\begin{array}{l}-1\end{array}\right)}^n\frac{n!}{{(x+3)}^{n+1}}\left(1\right),\forall n\in N^{*}.$

Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp:

* n = 1: (1) hiển nhiên đúng.

* Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 1$, nghĩa là ta có: $y^{\left(k\right)}={(-1)}^k\frac{k!}{{(x+3)}^{k+1}}$ ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta phải chứng minh: $y^{\left(k+1\right)}={(-1)}^{k+1}\frac{(k+1)!}{{(x+3)}^{k+2}}$ (2)

Thật vậy:

$y^{\left(k+1\right)}={\left.y^{\left(k\right)}\right]}^{\text{'}}={\left.{(-1)}^k\frac{k!}{{(x+3)}^{k+1}}\right]}^{\text{'}}$

$={(-1)}^{k+1}.\frac{k!}{{\left.{(x+3)}^{k+1}\right]}^2}.{\left.{(x+3)}^{k+1}\right]}^{\text{'}}$

$={(-1)}^{k+1}.\frac{k!(k+1)}{{(x+3)}^{k+2}}$$={(-1)}^{k+1}.\frac{(k+1)!}{{(x+3)}^{k+2}}$

Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra $y^{\left(n\right)}={(-1)}^n.\frac{n!}{{(x+3)}^{n+1}},\forall n\in N^{*}.$

Dạng 3: Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

Phương pháp giải:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm.

Để tính gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số s = f(t) tại t:

- Đạo hàm f(t) đến cấp 2

- Gia tốc a(t) = f’’(t)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1.

Lời giải

Gia tốc chuyển động tại t = 3s là s"(3)

Ta có: s’(t) = 3t² – 6t + 5

s’’(t) = 6t – 6

Vậy s’’(3) = 6.3 – 6 = 12 m/s².

Ví dụ 2.

Lời giải

Gia tốc chuyển động tại t = 2s là s"(2)

Ta có: s’(t) = 3t² – 6t + 4

s’’(t) = 6t – 6

Vậy s’’(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s².

Dạng 4: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm của đạo hàm

Phương pháp giải:

Lưu ý hai kết quả sau để áp dụng:

- Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t) là v(t₀) = s’(t₀).

- Cường độ tức thời tại thời điểm t0 của một dòng điện với điện lượng Q = Q(t) là I(t₀) = Q’(t₀).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) Tính đạo hàm của hàm số f(t) tại điểm t₀ .

b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5.

Lời giải

a) Ta có: f’(t) = 2t + 4.

Vậy f’(t₀) = 2t­₀ + 4.

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 là v = f’(5) = 2.5 + 4 = 14 (m/s).

Ví dụ 2:

Lời giải

Vì Q’(t) = 6 nên cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t = 10 là I = Q’(10) = 6.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. dy = 2(x – 1) dx

B. dy = (x – 1)2dx

C. dy = 2(x – 1)

D. dy = 2(x – 1) dx

Câu 2.

A. $\text{d}f\left(x\right)=\frac{-\sin 4x}{2\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}\text{d}x$

B. $\text{d}f\left(x\right)=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}\text{d}x$

C. $\text{d}f\left(x\right)=\frac{\cos 2x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}\text{d}x$

D. $\text{d}f\left(x\right)=\frac{-\sin 2x}{2\sqrt{1+{\cos }^{2}2x}}\text{d}x$

Câu 3.

A. $\text{d}y=\frac{\text{d}x}{{\left(x-1\right)}^2}$

B. $\text{d}y=\frac{3\text{d}x}{{\left(x-1\right)}^2}$

C. $\text{d}y=\frac{-3\text{d}x}{{\left(x-1\right)}^2}$

D. $\text{d}y=-\frac{\text{d}x}{{\left(x-1\right)}^2}$

Câu 4.

A. 6

B. 8

C. 3

D. 2

Câu 5

A. $-\frac{8}{27}$

B. $\frac{2}{9}$

C. $\frac{8}{27}$

D. $-\frac{4}{27}$

Câu 6.

A. P = 4

B. P = 0

C. P = – 4

D. P = – 1

Câu 7.

A. x = -4

B. x = – 2

C. x = 0

D. x = 2

Câu 8.

A. y2 – (y’)2 = 4

B. 4y + y’’ = 0

C. 4y – y’’ = 0

D. y = y’.tan 2x

Câu 9.

A. $2y^{\text{'}}+y^{\text{'}\text{'}}=\sqrt{2}\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$

B. 2y + y’. tan x = 0

C. 4y- y’’ = 2

D. 4 y’ + y’’’ = 0

Câu 10.

A. 3

B. -3

C. $\frac{3}{2}$

D. 0

Câu 11

A. $f^{\left(21\right)}\left(x\right)=-\cos \left(x+a+\frac{\pi }{2}\right)$

B. $f^{\left(21\right)}\left(x\right)=-\sin \left(x+a+\frac{\pi }{2}\right)$

C. $f^{\left(21\right)}\left(x\right)=\cos \left(x+a+\frac{\pi }{2}\right)$

D. $f^{\left(21\right)}\left(x\right)=\sin \left(x+a+\frac{\pi }{2}\right)$

Câu 12.

A. 5 (m/s)

B. 6 (m/s)

C. 7 (m/s)

D. 4 (m/s)

Câu 13.

A. 1 (s)

B. 3 (s)

C. 2 (s)

D. 4 (s)

Câu 14

A. 5 (A)

B. 12 (A)

C. 7 (A)

D. 4 (A)

Câu 15.

A. 24 (m/s)

B. 108 (m/s)

C. 64 (m/s)

D. 18 (m/s)

Bảng đáp án