50 bài tập về Giới hạn của dãy số (có đáp án 2025) và cách giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập

1. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |u_n| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$ hay lim u_n = 0 hay $u_n\to 0$ khi $n\to +\infty$.

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là số thực L nếu lim (u_n – L) = 0

Kí hiệu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=L$ hay lim u_n = L hay $u_n\to L$ khi $n\to +\infty$.

c) Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (u_n) có giới hạn là $+\infty$ khi $n\to +\infty$, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu: $\lim u_n=+\infty$ hoặc $u_n\to +\infty khin\to +\infty$

Dãy số (u_n) có giới hạn là $-\infty$ khi $n\to +\infty$, nếu $\lim \left(-u_n\right)=+\infty$

Ký hiệu: $\lim u_n=-\infty$ hoặc $u_n\to -\infty khin\to +\infty$

d) Một vài giới hạn đặc biệt

$\lim u_n=0\iff \lim \left.u_n\right|=0$

$\lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

$\lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

$\lim q^n=\begin{array}{l}0khi\left.q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}$

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lim u_n = a và lim v_n = b và c là hằng số. Khi đó ta có :

lim(u_n + v_n) = a + b

lim(u_n - v_n) = a - b

lim(u_n v_n) = a.b

$\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b},\left(b\ne 0\right)$

lim(cu_n ) = c.a

lim|u_n | = |a|

$\lim \sqrt[3]{u_n}=\sqrt[3]{a}$

Nếu $u_n\ge 0$ với mọi n thì $a\ge 0$ và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n):

Nếu $\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}$ thì lim u_n = a.

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n):

Nếu $\begin{array}{l}\left.u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}$ thì lim u_n = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	$+\infty$	$+\infty$
+	$-\infty$	$-\infty$
-	$+\infty$	$-\infty$
-	$-\infty$	$+\infty$

* Quy tắc tìm giới hạn thương

lim un = L	lim vn	Dấu của vn	$\lim \frac{u_n}{v_n}$
L	$\pm \infty$	Tùy ý	0
L > 0	0	+	$+\infty$
	0	-	$-\infty$
L < 0	0	+	$-\infty$
	0	-	$+\infty$

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u₁; u₁q; u₁q²; … u₁qⁿ; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn đặc biệt:

$\lim u_n=0\iff \lim \left.u_n\right|=0$

$\lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

$\lim q^n=\begin{array}{l}0khi\left.q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) $\lim \frac{1}{n^2}$

b) $\lim \frac{1}{n^2+n+3}$

c) $\lim \frac{1}{n\sqrt{n}}$

Lời giải

Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:

a) $\lim \frac{1}{n^2}=0$

b) $\lim \frac{1}{n^2+n+3}=0$

c) $\lim \frac{1}{n\sqrt{n}}=0$

Ví dụ 2:

a) $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

b) $\lim {\left(\frac{5}{4}\right)}^{n+1}$

c) lim (-0,999)ⁿ

Lời giải

a) $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ vì $\left.\frac{1}{2}\right|<1$

b) $\lim {\left(\frac{5}{4}\right)}^{n+1}=+\infty$ vì $\frac{5}{4}>1$

c) lim (-0,999)ⁿ = 0 vì |-0,999| < 1.

Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho n^k (với n^k là lũy thừa với số mũ lớn nhất).

Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

$\begin{array}{l}\lim u_n=0\iff \lim \left.u_n\right|=0\\ \lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1}{n^k}=0,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\\ \lim n^k=+\infty ,\left(k>0,k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\\ \lim q^n=\begin{array}{l}0khi\left.q\right|<1\\ +\infty khiq>1\end{array}\end{array}$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) $\lim \frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4+4n^3+n}$

b) $\lim \frac{{\left(-5\right)}^n+4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}+4^{n+1}}$

c) $\lim \frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2+2\sqrt{n}-3}$

Lời giải

a) $\lim \frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4+4n^3+n}=\lim \frac{\frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4}}{\frac{n^4+4n^3+n}{n^4}}$

$=\lim \frac{-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{4}{n^4}}{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^3}}=\frac{-0+0+4}{1+0+0}=0$

Vì $\lim \frac{2}{n}=0,\lim \frac{3}{n^2}=0,$$\lim \frac{4}{n^4}=0,\lim \frac{4}{n}=0$ và $\lim \frac{1}{n^3}=0$.

b) $\lim \frac{{\left(-5\right)}^n+4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}+4^{n+1}}=\lim \frac{\frac{{\left(-5\right)}^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}}+\frac{4^n}{{\left(-7\right)}^{n+1}}}{\frac{{\left(-7\right)}^{n+1}}{{\left(-7\right)}^{n+1}}+\frac{4^{n+1}}{{\left(-7\right)}^{n+1}}}$

$=\lim \frac{\frac{1}{-7}.{\left(\frac{-5}{-7}\right)}^n+\frac{1}{-7}.{\left(\frac{4}{-7}\right)}^n}{1+{\left(\frac{4}{-7}\right)}^{n+1}}=\frac{\frac{1}{-7}.0+\frac{1}{-7}.0}{1+0}=0$

Vì $\lim {\left(\frac{-5}{-7}\right)}^n=\lim {\left(\frac{4}{-7}\right)}^n=0$

c) $\lim \frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2+2\sqrt{n}-3}=\lim \frac{\frac{2n\sqrt{n}+1}{n^2}}{\frac{n^2+2\sqrt{n}-3}{n^2}}$

$=\lim \frac{\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n\sqrt{n}}-\frac{3}{n^2}}=\frac{0+0}{1+0-0}=0$

Vì $\lim \frac{2}{\sqrt{n}}=0,\lim \frac{1}{n^2}=0,$$\lim \frac{2}{n\sqrt{n}}=0,\lim \frac{3}{n^2}=0$

Ví dụ 2:

Lời giải

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Ví dụ 2:

Lời giải

Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	$+\infty$	$+\infty$
+	$-\infty$	$-\infty$
-	$+\infty$	$-\infty$
-	$-\infty$	$+\infty$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Ví dụ 2:

a) $\lim \left(2n-\sqrt{n^3+2n-2}\right)$

b) $\lim \left(n^2-n\sqrt{4n+1}\right)$

Lời giải

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (u_nv_n)

Nếu $\lim u_n=L\ne 0,\lim v_n=+\infty (hay-\infty )$. Khi đó: lim (u_nv_n)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	+$\infty$	+$\infty$
+	-$\infty$	-$\infty$
-	+$\infty$	-$\infty$
-	-$\infty$	+$\infty$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n^4-3n^3+2}{n^3+2}$

b) $\lim \frac{\left(2n-1\right){\left(3n^2+2\right)}^3}{-2n^5+4n^3-1}$

Lời giải

Ví dụ 2:

Lời giải

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu $\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}$ thì lim u_n = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): Nếu $\begin{array}{l}\left.u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}$ thì lim u_n = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n+4}$

b) $\lim \left(\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$

Lời giải

Ví dụ 2:

a) $\lim \frac{{\sin }^{2}n}{n+2}$

b) $\lim \frac{1+\cos n^3}{2n+3}$

Lời giải

Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (u_n) ở dạng công thức truy hồi, biết (u_n) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim u_n = a (a là số thực) thì lim u_n+1 = a.

Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a.

Ta được giới hạn của (u_n) là lim u_n = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Giả sử lim u_n = a, khi đó lim u_n+1 = a

Suy ra $a=\frac{2\text{a}+3}{a+2}\Rightarrow a^2+2a=2a+3$$\iff a^2=3\iff a=\pm \sqrt{3}$

Do $u_1=1>0,u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2}>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $a>0\Rightarrow a=\sqrt{3}$

Vậy $\lim u_n=\sqrt{3}$.

Ví dụ 2:

Lời giải

Vì $u_1=\sqrt{2}>0;u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}>0$

Giả sử lim u_n = a (a > 0), khi đó lim u_n+1 = a

Suy ra $a=\sqrt{2+a}\iff a^2=a+2$

$\iff a^2-a-2=0\iff \begin{array}{l}a=-1\left(Loại\right)\\ a=2\end{array}$

Vậy lim u_n = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn (u_n) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi tìm lim u_n theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu $\begin{array}{l}\left(v_n\right)\le \left(u_n\right)\le \left({\text{w}}_n\right),\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=\lim w_n=a\end{array}$ thì lim u_n = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): Nếu $\begin{array}{l}\left.u_n\right|\le v_n,\forall n\in N^{*}\\ \lim v_n=0\end{array}$ thì lim u_n = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Lời giải

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u₁ = 1 và d = 1.

Tổng n số hạng của cấp số cộng: $S_n=\frac{\left(u_1+u_n\right)n}{2}=\frac{\left(1+n\right)n}{2}.$

Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 3² ; 3³ ; … ; 3ⁿ là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u₁ = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân: $S_{n+1}=u_1.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}.$

Khi đó: $L=\lim \frac{\frac{\left(1+n\right)n}{2}}{\frac{3^{n+1}-1}{2}.(n+1)}=\lim \frac{n}{3^{n+1}-1}$

Vì $\left.\frac{n}{3^{n+1}-1}\right|=\left.\frac{n}{{3.3}^n-1}\right|<\frac{n}{3^n}<\frac{2^n}{3^n}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ và $\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$

Nên $L=\lim \frac{n}{3^{n+1}-1}=0$

(Bằng quy nạp ta luôn có $n<2^n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $3^n>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$$\Rightarrow 3^{n+1}-3^n={2.3}^n>2>1$$\Rightarrow 3^{n+1}-1>3^n$).

Ví dụ 2:

Lời giải

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

a) $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$

b) $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$

Lời giải

a) $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và $q=\frac{1}{2}$.

Nên $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

b) $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$ là cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và q = 0,9.

Nên $S=1+0,9+{\left(0,9\right)}^2+{\left(0,9\right)}^3+\dots$$=\frac{1}{1-0,9}=10$.

Ví dụ 2:

Lời giải

Nên $b=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{{10}^3}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$.

Nên $b=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A. $\lim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0$.

B. $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$.

C. $\lim \frac{1}{n^3}=-1$.

D. $\lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0$.

Câu 2.

A. ${\left(\frac{4}{3}\right)}^n$.

B. ${\left(-\frac{4}{3}\right)}^n$.

C. ${\left(-\frac{5}{3}\right)}^n$.

D. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

Câu 3.

A. $\lim \frac{n^2-2n}{5n+5n^2}$.

B. $\lim \frac{1-2n}{5n+5}$.

C. $\lim \frac{1-2n^2}{5n+5}$.

D. $\lim \frac{1-2n}{5n+5n^2}$.

Câu 4.

A. 0.

B. 1.

C. $+\infty$.

D. 2.

A. $\frac{1}{3}$.

B. 0.

C. $\frac{2}{3}$.

D. 1.

A. 2.

B. 1.

C. $\frac{3}{2}$.

D. Không có giới hạn.

Câu 7.

A. $+\infty$.

B. $-\infty$.

C. -1.

D. 0.

Câu 8.

A. $-\frac{4}{3}$.

B. $+\infty$.

C. $\frac{4}{3}$.

D. -4.

Câu 9.

A. $\frac{2}{3}$.

B. $-\frac{1}{6}$.

C. $\frac{1}{7}$.

D. $-\frac{2}{3}$.

Câu 10.

A. $\lim \frac{2^n+3}{1-2^n}$.

B. $\lim \frac{\left(2n+1\right){\left(n-3\right)}^2}{n-2n^3}$.

C. $\lim \frac{1-2n^2}{n^2+2n}$.

D. $\lim \frac{2^n+1}{{3.2}^n-3^n}$.

Câu 11.

A. -1.

B. 2.

C. 4.

D. $\frac{2}{3}$.

Câu 12.

A. $-\infty$.

B. $+\infty$.

C. $\frac{3}{4}$ .

D. 0.

Câu 13.

A. 5.

B. $\frac{2}{5}$.

C. $-\infty$.

D. $+\infty$.

A. 1.

B. $\frac{1}{3}$.

C. $\frac{3}{4}$.

D. $\frac{2}{3}$.

Câu 15.

A. $\frac{249}{200}$.

B. $\frac{137}{110}$.

C. $\frac{27}{22}$.

D. $\frac{69}{55}$.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	D	D	A	A	B	B	C	D	D	B	A	D	B	B