Công thức phép đối xứng trục đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức phép đối xứng trục - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ_d.

* Tính chất

- Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng .

- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Cho đường thẳng d, điểm M’(x’;y’) đối xứng với M(x;y) qua d. Gọi M₀(x₀;y₀) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M'= Đ_d(M)$\iff \overrightarrow{M_{0}M\text{'}}=-\overrightarrow{M_{0}M}.$$\Rightarrow \begin{array}{l}x\text{'}=2x_0-x\\ y\text{'}=2y_0-y\end{array}$

- Nếu $d\equiv Ox$. Gọi M’(x’;y’) = Đ_Ox[M(x; y)] thì $\begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=-y\end{array}.$

- Nếu $d\equiv Oy.$ Gọi M’(x’;y’) = Đ_Oy[M(x; y)] thì $\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=y\end{array}.$

- Nếu d: Ax + By + C = 0 với $A^2+B^2\ne 0$. Gọi M’(x’;y’) = Đ_Oy[M(x; y)] thì

$\begin{array}{l}x\text{'}=x-\frac{2A\left(Ax+By+C\right)}{A^2+B^2}\\ y\text{'}=-y-\frac{2B\left(Ax+By+C\right)}{A^2+B^2}\end{array}.$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Tìm tọa đô M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy.

b) Tìm tọa độ của M’’ là ảnh của M’ qua phép đối xứng trục Ox.

Lời giải

a) Đ_Oy(M)=M’ $\Rightarrow \begin{array}{l}x\text{'}=-x=-2\\ y\text{'}=y=4\end{array}\Rightarrow M\text{'}(-2;4)$

b) Đ_Ox(M’)=M’’$\Rightarrow \begin{array}{l}x"=x\text{'}=-2\\ y"=-y\text{'}=-4\end{array}\Rightarrow M"(-2;-4)$

Ví dụ 2:

Lời giải

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R = 3.

Đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Khi đó (C’) có bán kính R = 3 và tâm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng trục Ox.

Ta có: I’ = Đ_Ox(I)$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_{I\text{'}}=x_I=2\\ y_{I\text{'}}=-y_I=-3\end{array}\Rightarrow I\text{'}(2;-3)$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: (x − 2)² + (y + 3)² = 9.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1.

A.  M’₁(3; 2)

B.  M’₂(2; -3)

C.  M’₃(3; -2)

D.  M’₄(-2; 3)

Câu 2.

A. G’(-2; -1)

B. G’ (2; -4)

C. G’ (0; -3)

D. G’ (-2; 1)

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là:

A. x – y – 2 = 0

B. x + y + 2 = 0

C. x + y – 2 = 0

D. x – y + 2 = 0

Đáp án: