50 bài tập về Phép đối xứng tâm (có đáp án 2024) và cách giải

Phép đối xứng tâm và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 11

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Cho điểm I phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M′ sao cho I là trung điểm của MM′ được gọi là phép đối xứng tâm I, kí hiệu $D_I$

$D_I\left(M\right)=M\text{'}\iff \overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IM\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Nếu $D_I\left(\right(H\left)\right)=\left(H\right)$ thì I được gọi là tâm đối xứng của hình H

2. Trong mặt phẳng Oxy cho I (a; b), M(x; y). Gọi M’ (x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I thì $\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x\\ y\text{'}=2b-y\end{array}$

3. Tính chất

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

- Phép đối xứng tâm biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng

- Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó; biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho; biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho

II. Các dạng toán phép đối xứng tâm

Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm

Phương pháp giải:

Ví dụ 1:

Lời giải

Lấy điểm $M\left(x;y\right)\in d\Rightarrow x+5y+1=0$(1)

Gọi $M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)=D_I\left(M\right)$ thì $\begin{array}{l}x\text{'}=4-x\\ y\text{'}=4-y\end{array}\iff \begin{array}{l}x=4-x\text{'}\\ y=4-y\text{'}\end{array}$

Thay vào (1) được $(4-x\text{'})+5(4-y\text{'})+1=0$

$\Rightarrow x\text{'}+5y\text{'}-25=0$

Vậy ảnh của d là đường thẳng d’: x + 5y – 25 = 0

Ví dụ 2:

Lời giải

Gọi A’ (x’; y’) là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O (0; 0). Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có

$\begin{array}{l}x\text{'}=0-x\\ y\text{'}=0-y\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-x\text{'}\\ y=-y\text{'}\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=1\\ y\text{'}=-3\end{array}\Rightarrow A\text{'}(1;-3)$

Gọi M (x; y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’ (x’; y’) là một điểm bất kỳ thuộc d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O. Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}x\text{'}=0-x\\ y\text{'}=0-y\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-x\text{'}\\ y=-y\text{'}\end{array}\\ \Rightarrow (-x\text{'})-2(-y\text{'})+3=0\\ \iff x\text{'}-2y\text{'}-3=0\end{array}$

Do đó d’ có phương trình x - 2y – 3 = 0

Dạng 2: Xác định tâm đối xứng khi biết ảnh và tạo ảnh

Ví dụ 3:

Lời giải

Gọi M (x; y) thuộc d; M’ (x’; y’) thuộc d’, M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Giả sử tâm đối xứng là I (a; b), thì theo công thức có:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x\\ y\text{'}=2b-y\end{array}\\ \Rightarrow (2a-x)-2(2b-y)-8=0\\ \iff x-2y+4b-2a+8=0\end{array}$

Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải có dạng: I (a; 0) tức b=0

Suy ra: $\begin{array}{l}4b-2a+8=2\\ b=0\end{array}\iff \begin{array}{l}a=3\\ b=0\end{array}\Rightarrow I(3;0)$

Ví dụ 4:

Lời giải

Giao của hai đường thẳng d : x - 2y + 2 = 0 và d ': x - 2y - 8 = 0 với trục Oy là A (0; 1), A' (0; - 4)

Theo giả thiết biến d thành d' và biến trục Oy thành chính nó thì A biến thành A' nên tâm đối xứng là I trung điểm của AA' là $I\left(0;\frac{-3}{2}\right)$

Dạng 3: Tìm tâm đối xứng của một hình

Phương pháp giải:

Ví dụ 5:

Lời giải

I (a; b) là trung điểm của $\text{AA'}\Rightarrow \begin{array}{l}a=\frac{4+6}{2}=5\\ b=\frac{3+1}{2}=2\end{array}$

Vậy tâm đối xứng cần tìm là I (5; 2)

Ví dụ 6:

Lời giải

Lấy điểm $M(x;y)\in \left(\text{}C\right)\Rightarrow y=x^3-3x^2+3$ (1)

Gọi I (a; b) là tâm đối xứng của (C) và M’ (x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I

Ta có: $\begin{array}{l}x\text{'}=2a-x\\ y\text{'}=2b-y\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2a-x\text{'}\\ y=2b-y\text{'}\end{array}$

Thay vào (1) được: $2b-y\text{'}={(2a-x\text{'})}^3-3{(2a-x\text{'})}^2+3$ (2)

$\iff y\text{'}=x{\text{'}}^3-3x{\text{'}}^2+3+(6-6a)x{\text{'}}^2$$+(12a^2-12a)x\text{'}-8a^3+12a^2+2b-6$

Mặt khác $M\text{'}\in \left(C\right)$ nên $y\text{'}=x{\text{'}}^3-3x{\text{'}}^2+3$

Do đó (2)

Vậy I (1; 1) là tâm đối xứng của (C)

Dạng 4: Sử dụng phép đối xứng tâm để giải các bài toán dựng hình

Phương pháp giải:

Ví dụ 7:

Lời giải

-Dựng đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

-Dựng giao điểm B của d’ và d1

-Dựng A là giao điểm của đường thẳng BI và đường thẳng d

Số nghiệm hình là số giao điểm của đường thẳng d1 và d’

- Nếu d’ và d1 song song thì bài toán vô nghiệm

-Nếu d’ và d1 cắt nhau thì bài toán có 1 nghiệm

-Nếu d’ và d1 trùng nhau thì bài toán có vô số nghiệm

Ví dụ 8:

Lời giải

Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi I là trung điểm của BC thì $D_I\left(C\right)=B$

$C\in d2$ nên $B\in d\text{'}2$ với d’2 là ảnh của d2 qua phép đối xứng tâm I

Ta lại có $B\in d1\Rightarrow B=d1\cap d\text{'}2$

Cách dựng:

-Dựng điểm I sao cho $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$

-Dựng đường thẳng d’2 ảnh của d2 qua $D_I$

-Gọi $B=d1\cap d\text{'}2$

-Dựng điểm $C=D_I\left(B\right)$

Tam giác ABC là tam giác phải dựng

Dạng 5: Sử dụng phép đối xứng tâm để giải bài toán tập hợp điểm

Phương pháp giải:

Ví dụ 9:

Lời giải

Gọi A’ là điểm xuyên tâm đối của A trên (O). Ta có:

A’B $\perp$AB ($∆$ABA’ là tam giác có cạnh huyền là đường kính)

CH $\perp$AB (do CH là đường cao)

Nên AB // CH (1)

Tương tự ta chứng minh được A’C // BH (2)

(1) và (2)$\Rightarrow$ BHCA’ là hình bình hành

$\Rightarrow$Lấy H’ trung với A’. Vậy BHCH’ là hình bình hành và H’ luôn nằm trên đường tròn.

Trong hình bình hành BHCH’, có HH’ và BC là hai đường chéo nnen HH’ nhận trung điểm I của BC cố định làm trung điểm.

Do đó H là điểm đối xứng với H’ qua I.

Mà H’ $\in$(O) nên H$\in$ một đường tròn đối xứng với (O) qua I

Ví dụ 10:

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành có hai đỉnh A, C cố định nên tâm O là trung điểm của đường chéo AC

Suy ra: O cố định

Mà tâm O là trung điểm đường chéo BD. Do đó phép đối xứng tâm O biến B thành D

Mà B chạy trên đường thẳng d nên điểm D chạy trên đường thẳng d' ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

Ngược lại với mọi điểm D thuộc đường thẳng d' ta luôn tìm được điểm B thuộc d sao cho O là trung điểm của BD

Vậy quỹ tích của các điểm D là đường thẳng d' ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

III. Bài tập áp dụng

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6: Cho hình bình hành MNPQ nội tiếp hình bình hành ABCD (4 đỉnh nằm trên bốn cạnh). Chứng minh hai hình bình hành có cùng tâm đối xứng

Bài 7:

a. Điểm A (3; -2) của đường thẳng d: 3x - 6y + 1 = 0

b. Đường tròn $x^2+y^2-4x-2y-4=0$

Bài 8:

a. Điểm A (3; -4)

b. Đường thẳng d: 2x – y +1 = 0

Bài 9: Cho phép đối xứng tâm I (p; 3). Tìm ảnh của đồ thị hàm số (C): y = 2sin2x - 5

Bài 10: