Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Bài 26 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải:

Giả sử ta có hình thang ABCD, AB // CD và AC = BD. Ta đi chứng min ABCD là hình thang cân

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.

Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK

Mà AC = BD (giả thiết)

Suy ra: BD = BK do đó ΔBDK cân tại B

⇒ $\widehat{D_1}=\widehat{K}$ (tính chất hai tam giác cân)

Ta lại có: $\widehat{C_1}=\widehat{K}$(hai góc đồng vị)

Suy ra: $\widehat{D_1}=\widehat{C_1}$

Xét ΔACD và ΔBDC:

AC = BD (giả thiết)

$\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$ (chứng minh trên)

CD chung

Do đó ΔACD = ΔBDC (c.g.c)

⇒$\widehat{ADC}$ = $\widehat{BCD}$ (hai góc tương ứng)

Hình thang ABCD có $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên là hình thang cân.