Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Bài 30 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.

a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao

b) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC?

Lời giải:

a) Vì AD = AE

⇒ ΔADE cân tại A nên $\widehat{ADE}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}$ (tính chất tam giác cân)

ΔABC cân tại A

⇒ $\widehat{ABC}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}$ (tính chất tam giác cân)

Suy ra: $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị

⇒ DE // BC (có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Do đó, tứ giác BDEC là hình thang.

Lại có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân) hay $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$

Vậy BDEC là hình thang cân.

b) Ta có: BD = DE

⇒ ΔBDE cân tại D

Suy ra: $\widehat{B_1}=\widehat{E_1}$

Mà $\widehat{E_1}=\widehat{B_2}$(so le trong)

⇒ $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$

DE = EC ⇒ ΔDEC cân tại E

⇒ $\widehat{CDE}=\widehat{C_1}$

$\widehat{CDE}=\widehat{C_2}$(so le trong)

⇒ $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

Vậy khi BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ , CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$thì BD = DE = EC.

*Phương pháp giải:

a) Chứng minh BDEC có một cặp cạnh đối song song nên là hình thang.

Chứng minh hai cạnh bên BD = CE nên BDEC là hình thang cân.b) Dựa vào BD = DE và DE = EC suy ra tam giác BDE và tam giác DEC cân, suy ragóc B1=B2 ;C1=C2

*Lý thuyết:

Hình thang

- Tứ giác lồi có hai cạnh đối song song là hình thang.

- Hai cạnh song song đó gọi là hai cạnh đáy.

- Hai cạnh còn lại là hai cạnh bên.

Ta có: tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang

Hai cạnh đáy là AB và CD

Hai cạnh bên là BC và AD

- Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng$180°$

$\widehat{A}+\widehat{D}=180°;\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

2. Hình thang cân

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Tính chất của hình thang cân:

Hình thang ABCD cân có AB // CD

+ Hai góc kề một đáy bằng nhau ($\widehat{A}=\widehat{B}$;$\widehat{C}=\widehat{D}$)

+ Hai cạnh bên bằng nhau (BC = AD)

+ Hai đường chéo bằng nhau (AC = BD)

Dấu hiệu nhận biết:

+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Chú ý:Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.