Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Bài 25 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải:

+) Do BE và CF lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{B};\\ \widehat{ACF}=\frac{1}{2}\widehat{C}\end{array}$

Mà tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$

Suy ra: $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$

Xét hai tam giác AEB và AFC

Có AB = AC (ΔABC cân tại A)

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (chứng minh trên)

$\widehat{A}$ là góc chung

⇒ ΔAEB = ΔAFC (g.c.g)

⇒ AE = AF ⇒ ΔAEF cân tại A

⇒ $\widehat{A\text{}FE}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}$

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}$ (tính chất).

⇒ $\widehat{AFE}=\widehat{B}$ 

⇒ FE // BC (có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).

⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.

Lại có: $\widehat{B}=\widehat{C}$(tính chất tam giác cân)

Do đó hình thang BFEC là hình thang cân

Vì FE // BC nên ta có: $\widehat{FEB}=\widehat{EBC}$ (so le trong)

Lại có: $\widehat{FBE}=\widehat{EBC}$ ( vì BE là tia phân giác của góc B)

⇒ $\widehat{FBE}=\widehat{FEB}$

⇒ ΔFBE cân ở F ⇒ FB = FE

⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm).