Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 147 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.

Lời giải:

* Xét tứ giác APQD, ta có:

AB // CD hay AP // QD

AP = $\frac{1}{2}$.AB

QD = $\frac{1}{2}$CD

AB = CD (vì ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: AP = QD

Xét tứ giác APQD có:

AP = QD

AP // QD

Do đó, tứ giác APQD là hình bình hành.

Lại có: $\hat{A}$ = 90^o (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra tứ giác APQD là hình chữ nhật.

Mà AD = AP = $\frac{1}{2}$AB.

Vậy tứ giác APQD là hình vuông.

⇒ AQ ⊥ PD (tính chất hình vuông)

⇒ $\widehat{PHQ}$ = 90^o 

HP = HQ (tính chất hình vuông)

* Xét tứ giác PBCQ, ta có:

AB // CD hay BP //CQ

PB = $\frac{1}{2}$AB

CQ = $\frac{1}{2}$CD

AB = CD do ABCD là hình chữ nhật.

Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Lại có: $\hat{B}$ = 90^o (vì ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra tứ giác PBCQ là hình chữ nhật.

Lại có: PB = BC (vì cùng bằng AD = $\frac{1}{2}$AB)

Vậy tứ giác PBCQ là hình vuông

⇒ PC ⊥ BQ (tính chất hình vuông)

⇒ $\widehat{PKQ}$ = 90^o 

PD là tia phân giác $\widehat{APQ}$ (tính chất hình vuông)

PC là tia phân giác $\widehat{QPB}$ (tính chất hình vuông)

Suy ra: PD ⊥ PC (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

⇒$\widehat{HPK}$ = 90^o 

Xét tứ giác PHQK có:

$\widehat{PHQ}$ = 90^o (chứng minh trên)

$\widehat{HPK}$ = 90^o (chứng minh trên)

$\widehat{PKQ}$ = 90^o (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác PHQK là hình chữ nhật

Mặt khác, PH = HQ (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.