Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 155 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.

a) Chứng minh rằng CE vuông góc với DF.

b) Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD.

Hướng dẫn: Gọi K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng KA // CE.

Lời giải:

a) Xét ΔBEC và ΔCFD, ta có:

BE = CF (giả thiết)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ = 90^o

BC = CD (vì ABCD là hình vuông)

Suy ra: ΔBEC = ΔCFD (c.g.c)

⇒ $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$

Lại có: $\widehat{C_1}+\widehat{C_2}$ = 90^o

Suy ra: $\widehat{D_1}+\widehat{C_2}$ = 90^o

Trong ΔDCM có $\widehat{D_1}+\widehat{C_2}$ = 90^o

Suy ra: $\widehat{DMC}$ = 90^o

Vậy CE ⊥ DF.

b) Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại N.

* Xét tứ giác AKCE, ta có: AB // CD hay AE // CK

AE = $\frac{1}{2}$AB

CK = $\frac{1}{2}$CD (theo cách vẽ)

AB = CD ( Vì ABCD là hình vuông)

Suy ra: AE = CK nên tứ giác AKCE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ AK // CE

DF ⊥ CE (chứng minh trên)

⇒ AK ⊥ DF hay AN ⊥ DM (quan hệ từ vuông góc đến song song)

* Trong ΔDMC, ta có:

DK = KC và KN // CM

Nên DN = MN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

Suy ra: ΔADM cân tại A.

Vậy AD = AM.