Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 153 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.

a) Chứng minh rằng EC = BH, EC ⊥ BH

b) Gọi M, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MIN là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{BAH}=\widehat{BAC}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{CAH}\\ \\ =\widehat{BAC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{90}^0\end{array}$

$\begin{array}{l}\widehat{EAC}=\widehat{BAC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{BAE}\\ =\widehat{BAC}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{90}^0\end{array}$

Suy ra: $\widehat{BAH}=\widehat{EAC}$

* Xét ΔBAH và ΔEAC , ta có:

BA = EA (vì ABDE là hình vuông)

$\widehat{BAH}=\widehat{EAC}$ (chứng minh trên)

AH = AC (vì ACFH là hình vuông)

Suy ra: ΔBAH = ΔEAC (c.g.c)

⇒ BH = EC

Gọi K và O lần lượt là giao điểm của EC với AB và BH.

Ta có: $\widehat{AEC}=\widehat{ABH}$ (vì ΔBAH = ΔEAC) (1)

Hay $\widehat{AEK}=\widehat{OBK}$

* Trong ΔAEK, ta có:

$\widehat{EAK}$ = 90^o

⇒ $\widehat{AEK}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{AKE}$ = 90^o (2)

Mà $\widehat{AKE}=\widehat{OKB}$ (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

$\widehat{OKB}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{OBK}$ = 90^o

* Trong Δ BOK ta có:

$\widehat{BOK}+\widehat{OKB}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{OBK}={180}^0$

$\begin{array}{l}\widehat{BOK}={180}^0-\left(\widehat{OKB}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{OBK}\right)\\ ={180}^0-{90}^0={90}^0\end{array}$

Suy ra: EC ⊥ BH

b) * Trong ΔEBC , ta có:

M là trung điểm EB (tính chất hình vuông)

Và I trung điểm BC

Nên MI là đường trung bình của ΔEBC

⇒ MI = $\frac{1}{2}$EC và MI // EC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong ΔBCH, ta có:

I trung điểm BC

Và N trung điểm của CH (tính chất hình vuông)

Nên NI là đường trung bình của ΔBCH

⇒ NI = $\frac{1}{2}$BH và NI // BH (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà BH = CE (chứng minh trên)

Suy ra: MI = NI nên ΔINM cân tại I.

Ta có: MI // EC (chứng minh trên)

 Và EC ⊥ BH (chứng minh trên)

Suy ra: MI ⊥ BH. Mà NI // BH (chứng minh trên)

Suy ra: MI ⊥ NI hay $\widehat{MIN}$ = 90^o

Vậy ΔMIN vuông cân tại I.