Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 150 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Lời giải:

Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.

* Trong ΔADG , ta có:

$\widehat{GAD}$ = 45^o; $\widehat{GDA}$ = 45^o (vì DG; AG là tia phân giác của góc $\widehat{ADC};\widehat{BAD}$)

Suy ra:

$\widehat{AGD}={180}^0-\widehat{GAD}-\widehat{GDA}={90}^0$

⇒ ΔGAD vuông cân tại G.

⇒ GD = GA

Trong ΔBHC, ta có:

$\widehat{HBC}$ = 45^o; $\widehat{HCB}$ = 45^o (gt)

Suy ra:  

$\begin{array}{l}\widehat{BHC}={180}^0-\widehat{HBC}-\widehat{HCB}\\ ={90}^0\end{array}$

⇒ ΔHBC vuông cân tại H.

⇒ HB = HC

* Trong ΔFDC, ta có:

 $\widehat{D_1^{}}$ = 45^o; $\widehat{C_1}$ = 45^o 

Suy ra:

 $\widehat{F}$ = 180° - $\widehat{D_1}-\widehat{C_1}$

 = 90°

⇒ ΔFDC vuông cân tại F

⇒ FD = FC

Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

Xét ΔGAD và ΔHBC,ta có:

$\widehat{GAD}=\widehat{HBC}$ = 45^o

AD = BC (tính chất hình chữ nhật)

$\widehat{GDA}=\widehat{HCB}$ = 45^o

Suy ra: ΔGAD = ΔHBC ( g.c.g)

Do đó, GD = HC .

Lại có: FD = FC (chứng minh trên)

Suy ra: FG = FH.

Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.