Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 12.2 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì ?

Lời giải:

Ta có: $\widehat{AOB}$ và $\widehat{COD}$ đối đỉnh nên E, O, G thẳng hàng

$\widehat{BOC}$ và $\widehat{AOD}$ đối đỉnh nên F, O, H thẳng hàng.

Xét ΔBEO và ΔBFO:

$\widehat{EBO}=\widehat{FBO}$ (tính chất hình thoi)

OB cạnh chung

$\widehat{EOB}=\widehat{FOB}$ = 45^o (tính chất tia phân giác của góc vuông)

Do đó: ΔBEO = ΔBFO (g.c.g)

⇒ OE = OF (1)

Xét ΔBEO và ΔDGO:

$\widehat{EBO}=\widehat{GDO}$ (so le trong)

OB = OD (tính chất hình thoi)

$\widehat{EOB}=\widehat{GOD}$ (đối đỉnh)

Do đó: ΔBEO = ΔDGO (g.c.g)

⇒ OE = OG (2)

Xét ΔAEO và ΔAHO:

$\widehat{EAO}=\widehat{HAO}$ (tính chất hình thoi)

OA cạnh chung

$\widehat{EOA}=\widehat{HOA}$ = 45^o (tính chất tia phân giác của góc vuông)

Do đó: ΔAEO = ΔAHO (g.c.g)

⇒ OE = OH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

OE = OF = OG = OH hay EG = FH

Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau).

Lại có: OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

Hay EG ⊥ FH

Vậy hình chữ nhật EFGH là hình vuông.