Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 154 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE.

Lời giải:

Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK

Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (1)

Xét ΔABK và ΔCBM, ta có:

AB = CB (vì ABCD là hình vuông)

$\widehat{A}=\widehat{BCM}$ = 90^o

AK = CM (theo cách vẽ)

Suy ra: ΔABK = ΔCBM (c.g.c)

⇒ $\widehat{B_1}=\widehat{B_4}$ (2)

Lại có: $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (do BK là tia phân giác của ABE)

Suy ra: $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{B_4}$

Mà $\widehat{KBC}$ = 90^o - $\widehat{B_1}$ (3)

Tam giác CBM vuông tại C nên:

 $\widehat{M}$ = 90^o - $\widehat{B_4}$ (4)

Từ (2), (3) và (4) suy ra:

$\widehat{KBC}=\widehat{M}$ (5)

Hay $\widehat{B_2}+\widehat{B_3}=\widehat{M}$

⇒ $\widehat{B_4}+\widehat{B_3}=\widehat{M}$ (vì $\widehat{B_4}=\widehat{B_2}$)

Hay: $\widehat{EBM}=\widehat{M}$

⇒ ΔEBM cân tại E

⇒ EM = BE. (6)

Từ (1) và (6) suy ra:

AK + CE = BE.