Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 145 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: AB = BC = CD = DA

Và AE = BK = CP = DQ

Suy ra: EB = KC = PD = QA

* Xét ΔAEQ và ΔBKE, ta có:

AE = BK

$\widehat{EAQ}=\widehat{KBE}$ = 90^o

QA = EB (chứng minh trên)

Do đó, ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c)

⇒ EQ = EK (1)

* Xét ΔBKE và ΔCPK, ta có:

BK = CP

$\widehat{KBE}=\widehat{PCK}$ = 90^o

EB = KC (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBKE = ΔCPK (c.g.c)

⇒ EK = KP (2)

* Xét ΔCPK và ΔDQP,ta có:

CP = DQ

$\widehat{C}=\widehat{D}$ = 90^o

DP = CK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔCPK = ΔDQP (c.g.c)

⇒ KP = PQ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

EK = KP = PQ = EQ.

Hay tứ giác EKPQ là hình thoi.

Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE.

⇒ $\widehat{AQE}=\widehat{BEK}$

Mà $\widehat{AQE}+\widehat{AEQ}$ = 90^o

⇒ $\widehat{BEK}+\widehat{AEQ}$ = 90^o

Ta có:

 $\widehat{BEK}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{QEK}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{AEQ}={180}^0$

Suy ra:

$\begin{array}{l}\widehat{QEK}={180}^0-\left(\widehat{BEK}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{AEQ}\right)\\ ={180}^0-{90}^0={90}^0\end{array}$

Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.