Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 156 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho $\widehat{EDC}=\widehat{ECD}$ = 15^o

a) Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho $\widehat{FAD}=\widehat{FDA}$ = 15^o. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

b) Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Lời giải:

a) Xét ΔEDC và ΔFDA, ta có:

$\widehat{EDC}=\widehat{FDA}$ = 15^o

DC = AD (vì ABCD là hình vuông)

$\widehat{EDC}=\widehat{FAD}$ = 15^o

Suy ra: ΔEDC = ΔFDA (g.c.g)

⇒ DE = DF

⇒ ΔDEF cân tại D

Lại có:

$\widehat{ADC}=\widehat{FDA}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{F\text{}D\text{}E}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{E\text{}D\text{}C\text{}}$

$\begin{array}{l}\widehat{F\text{}D\text{}E}=\widehat{ADC}-\left(\widehat{FDA}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{E\text{}D\text{}C\text{}}\right)\\ ={90}^0-({15}^0+\text{}{15}^0)={60}^0\end{array}$

Vậy ΔDEF đều.

b) Xét ΔADE và ΔBCE , ta có:

ED = EC (vì AEDC cân tại E)

$\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$ = 75^o

AD = BC (vì ABCD là hình vuông)

Suy ra: ΔADE = ΔBCE (c.g.c)

⇒ AE = BE (1)

* Trong ΔADE, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{A\text{}F\text{}D}={180}^0-\left(\widehat{F\text{}A\text{}D}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\widehat{F\text{}DA}\right)\\ ={180}^0-({15}^0+\text{}{15}^0)={150}^0\end{array}$

$\widehat{AF\text{}D}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{DF\text{}E}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{AF\text{}E}={360}^0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{AF\text{}E}={360}^0-\left(\widehat{AF\text{}D}+\widehat{DF\text{}E}\right)\\ ={360}^0-\left({150}^0+\text{}{60}^0\right)={150}^0\end{array}$

* Xét ΔAFD và ΔAFE, ta có: AF cạnh chung

$\widehat{AFD}=\widehat{AFE}$ = 150^o

DE = EF (vì ΔDFE đều)

Suy ra: ΔAFD = ΔAFE (c.g.c)

⇒ AE = AD

Mà AD = AB (vì ABCD hình vuông)

Suy ra: AE = AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AE = AB = BE.

Vậy ΔAEB đều.