Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh DC lấy điểm A

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 152 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh DC lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM . Vẽ hình vuông DKIH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.

Lời giải:

* Xét ΔCAB và ΔEMB, ta có:

CA = EM

$\widehat{ACB}=\widehat{MEB}$ = 90°

CB = EB (tính chất hình vuông)

Suy ra: ΔCAB = ΔEMB (c.g.c)

⇒ AB = MB (1)

Ta có: AK = DK+ DA

Và CD = CA + AD

Mà CA = DK nên AK = CD

* Xét ΔCAB và ΔKIA, ta có:

CA = KI (vì cùng bằng DK)

$\widehat{C}=\widehat{AKI}$ = 90^o

CB = AK (vì cùng bằng CD)

Suy ra: ΔCAB = ΔKIA (c.g.c)

⇒ AB = AI (2)

Ta có: DH = DK (vì KDHI là hình vuông)

Và EM = DK (giả thiết)

Suy ra: DH = EM

⇒ DH + HE = HE + EM

Hay DE = HM.

* Xét ΔHIM và ΔEMB, ta có:

HI = EM (vì cùng bằng DK)

$\widehat{IHM}=\widehat{MEB}$ = 90^o

HM = EB (vì cùng bằng DE)

Suy ra: ΔHIM = ΔEMB (c.g.c)

⇒ IM = MB (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

AB = BM = AI = IM.

Tứ giác ABMI là hình thoi.

Mặt khác, ta có ΔACB = ΔMEB (chứng minh trên)

⇒ $\widehat{CBA}=\widehat{EBM}$

Mà $\widehat{CBA}+\widehat{A\text{}BE}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\widehat{CBE}={90}^0$

Suy ra: $\widehat{EBM}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{ABE}$ = 90^o hay $\widehat{ABM}$ = 90^o

Vậy tứ giác ABMI là hình vuông.