Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật

Giải SBT Toán 8 Bài 11: Hình thoi

Bài 133 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải:

Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

* Trong ΔABC, ta có:

E là trung điểm của AB và F là trung điểm của BC

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

⇒ EF // AC và EF = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

* Trong ΔADC, ta có:

H là trung điểm của AD và G là trung điểm của CD

Nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

⇒ HG // AC và HG = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

EF // HG và EF = HG.

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Mặt khác: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD.

Trong ΔABD ta có E là trung điểm của AB; H là trung điểm của AD

  EH là đường trung bình

⇒ EH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: EH ⊥ EF hay  $\widehat{FEH}$ = 90°

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.