Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là một hình thoi

Giải SBT Toán 8 Bài 11: Hình thoi

Bài 132 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là một hình thoi.

Lời giải:

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.

Kẻ đường chéo AC, BD.

* Trong ΔABC, ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

⇒ EF // AC và EF = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ΔADC, ta có:

H là trung điểm của AD và G là trung điểm của DC

Nên HG là đường trung bình của tam giác ADC.

⇒ HG // AC và HG = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Xét ΔAEH và ΔDGH, ta có:

AH = HD (H là trung điểm của AD)

$\widehat{EAH}=\widehat{GDH}$= 90^o

AE = DG (vì AB = CD)

Suy ra: ΔAEH = ΔDGH (c.g.c)

⇒ HE = HG

Vậy hình bình hành EFGH là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).