Trên hình 11, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình bình hành

Bài 84 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Trên hình 11, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:

a) EGFH là hình bình hành.

b) Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.

Hình 11

Lời giải:

a)

+) Ta có: AH + HD = AD

Và CG + GB = CB

Mà AD = CB (vì ABCD là hình bình hành).

 Và DH = GB (giả thiết)

Suy ra: AH = CG.

Xét ΔAEH và ΔCFG:

AE = CF (giả thiết)

$\widehat{A}=\widehat{C}$ (tính chất hình bình hành)

AH = CG ( chứng minh trên).

Do đó: ΔAEH = ΔCFG (c.g.c)

⇒ EH = FG.

Xét ΔBEG và ΔDFH, ta có:

BG = DH (giả thiết)

$\widehat{B}=\widehat{D}$ (tính chất hình bình hành)

BE = DF (vì AB = CD và AE = CF nên AB – AE = CD – CF hay BE = DF )

Do đó: ΔBEG = ΔDFH (c.g.c)

⇒ EG = FH

Xét tứ giác EGFH có:

EG = HF (chứng minh trên)

EH = FG (chứng minh trên)

Suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau).

b) Gọi O là giao điểm của AC và EF.

Xét tứ giác AECF, ta có: AB // CD ( Vì ABCD là hình bình hành) hay AE // CF

Lại có: AE = CF (giả thiết)

Do đó: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

⇒ O là trung điểm của AC và EF.

Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm AC nên O cũng là trung điểm của BD.

Tứ giác EGFH là hình bình hành có O là trung điểm EF nên O cũng là trung điểm của GH.

Vậy AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.