Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình bình hành

Bài 86 trang 90 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’; BB’; CC’; DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy.

Tìm mối liên hệ độ dài giữa AA', BB', CC', DD'.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

⇒ OA = OC, OB = OD (tính chất hình bình hành).

Kẻ OO' ⊥ xy

Ta có: AA' ⊥ xy (giả thiết)

Và CC' ⊥ xy (giả thiết)

Suy ra: AA' // OO' // CC'.

Tứ giác ACC'A' là hình thang có:

OA = OC (chứng minh trên)

Và OO' // AA' nên OO' là đường trung bình của hình thang ACC'A'.

⇒ OO' = $\frac{AA\text{'}+CC\text{'}}{2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang) (1)

Ta có: BB' ⊥ xy

DD' ⊥ xy (gt)

OO' ⊥ xy (gt)

Suy ra: BB'// OO' // DD'

Tứ giác BDD'B' là hình thang có:

OB = OD (chứng minh trên)

OO' // BB' nên OO' là đường trung bình của hình thang BDD'B'.

⇒ $OO\text{'}=\frac{BB\text{'}+D\text{}D\text{'}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}}{2}$ (tính chất đường trung bình của hình thang) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AA' + CC' = BB + DD'