Cho hình bình hành ABCD , các đường chéo cắt nhau tại O

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình bình hành

Bài 7.2 trang 91 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD , các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của OD, OB. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng:

a) AE song song CF;

b) DK = $\frac{1}{2}$KC.

Lời giải:

a) Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)       

Vì E, F theo thứ tự là trung điểm của OD, OB nên:

$\text{}OE\text{\hspace{0.17em}}=\frac{1}{2}\text{}OD;OF=\frac{1}{2}OB$

Suy ra: OE = OF (do OB = OD)

Xét tứ giác AECF, ta có:

OE = OF (chứng minh trên)

OA = OC (vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )

⇒ AE // CF.

b) Kẻ OM // AK

Trong ΔCAK ta có:

OA = OC (chứng minh trên)

OM // AK (theo cách vẽ)

⇒ CM = MK (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ΔDMO ta có:

DE = EO (gỉa thiết)

EK // OM (vì AK // OM)

⇒ DK = KM (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DK = KM = MC

⇒ DK = $\frac{1}{2}$KC.