Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 19 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

a) Chứng minh MN // AC;

b) Tính MN theo a, b.

Lời giải:

a) Trong ΔBAC, ta có: AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

Suy ra: $\frac{MC}{MB}=\frac{AC}{AB}$ (tính chất đường phân giác) (1)

CN là đường phân giác của $\widehat{BCA}$.

Suy ra: $\frac{NA}{NB}=\frac{AC}{CB}$ (tính chất đường phân giác) (2)

Lại có: AB = CB = a (gt)

Từ (1), (2) và (gt) suy ra: $\frac{NA}{NB}=\frac{MC}{MB}$

Trong ΔBAC, ta có: $\frac{NA}{NB}=\frac{MC}{MB}$ .

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét).

b) Ta có: $\frac{MC}{MB}=\frac{AC}{AB}$ (chứng minh trên)

Suy ra: 

$\frac{MC+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}MB}{MB}=\frac{AC+\text{}AB}{AB}\Rightarrow \frac{CB}{MB}=\frac{AC+\text{}AB}{AB}$

Hay $\frac{a}{MB}=\frac{b+\text{}a}{a}\Rightarrow MB\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{a^2}{a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}b}$ .

Trong ΔBAC, ta có:

MN //AC (chứng minh trên)

Suy ra: $\frac{MN}{AC}=\frac{MB}{BC}$

Vậy

$MN=\frac{AC.MB}{BC}=\frac{b.\frac{a^2}{a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}b}}{a}=\frac{ab}{a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}b}$