Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 20 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E ∈ AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC, DE.

b) Cho biết diện tích tam giác ABC là S, tính diện tích các tam ABD, ADE, DCE.

Lời giải:

a) Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của góc BAC

Suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$  (tính chất tia phân giác)

Suy ra: $\frac{DB}{DB+\text{\hspace{0.17em}}DC}=\frac{AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}}AC}$

Suy ra: $\frac{DB}{BC}=\frac{AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}}AC}$ .

Suy ra:

$DB=\frac{BC.AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AC}=\frac{28.12}{12+\text{}20}=\frac{21}{2}=10,5cm$ 

Vậy DC = BC - DB = 28 - 10,5 = 17,5 (cm)

* Trong ΔABC, ta có: DE // AB

Suy ra: $\frac{DC}{BC}=\frac{DE}{AB}$  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Vậy: $DE=\frac{DC.AB}{BC}=\frac{17,5.12}{28}=7,5cm$

b) Vì ΔABD và ΔABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên

$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{BD}{BC}=\frac{10,5}{28}=\frac{3}{8}$

Vậy: S_ABD = $\frac{3}{8}$.S

S_ADC = S_ABC - S_ABD = S - $\frac{3}{8}S=\frac{5}{8}S$

Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên ta chứng minh được tam giác AED cân tại E, do đó AE = DE

Ta có: $\frac{S_{ADE}}{S_{ADC}}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{AC}=\frac{7,5}{20}=\frac{3}{8}$

Vậy: $S_{ADE}=\frac{3}{8}{S}_{ADC}=\frac{3}{8}.\frac{5}{8}S=\frac{15}{64}\text{}S$

Ta có:

$S_{DCE}=S_{ADC}-S_{ADE}=\frac{5}{8}S\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-\frac{15}{64}S=\frac{25}{64}S$