Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm. Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 17 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm. Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

Lời giải:

a) Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của góc BAC.

Suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên $\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$

Suy ra: $\frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+\text{\hspace{0.17em}}20}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra:

$\frac{DB}{BC}=\frac{15}{35}\Rightarrow DB\text{\hspace{0.17em}}=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}cm$

Do đó, DC = BC – BD = $25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}cm$

b) Kẻ AH ⊥ BC

Ta có: S_ABD = $\frac{1}{2}$AH.BD; S_ADC = $\frac{1}{2}$AH.DC.

Suy ra: $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.DC}=\frac{BD}{DC}$

Mà $\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$ ( chứng minh trên)

Vậy $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{3}{4}$.

*Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác

*Lý thuyết:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Định lí vẫn đúng với đường phân giác của góc ngoài của tam giác

Nếu AE’ là phân giác của góc $\widehat{\mathrm{BAx}}$

Ta có:$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DB}\text{'}}{\mathrm{D}\text{'}\mathrm{C}}$.