Tam giác ABC có = 90 độ, AB = a (cm), AC = b (cm) (a < b), trung tuyến AM

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 24 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có $\hat{A}$ = 90°, AB = a (cm), AC = b (cm) (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và D thuộc cạnh BC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b

b) Hãy tính độ dài các đoạn thẳng trên chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm, b = 7,25cm.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + b²

Suy ra: $BC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\sqrt{a^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{b}^2}$.

Ta có: AM = BM = $\frac{1}{2}$.BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Suy ra: AM $=\frac{1}{2}\sqrt{a^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{b}^2}$

Vì AD là đường phân giác của góc BAC nên:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra: $\frac{DB}{DB+\text{\hspace{0.17em}}DC}=\frac{AB}{AB+AC}$

hay

$\frac{DB}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\Rightarrow DB=\frac{BC.AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}}AC}=\frac{a\sqrt{a^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}}{a+\text{}b}$

Vậy

$DC=BC-DB=\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}-\frac{a.\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}}{a+b}=\frac{b.\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}}{a+b}$

$\begin{array}{l}DM=BM-BD\\ =\frac{1}{2}\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}-\frac{a.\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}}{a+b}\\ =\frac{(a+\text{}b).\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}}{2(a+b)}-\frac{2a.\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}}{2(a+b)}\\ =\frac{(b-a).\sqrt{a^2+\text{\hspace{0.17em}}{b}^2}}{2(a+b)}\end{array}$

b) Với a = 4,15 (cm); b = 7,25 (cm), sử dụng máy tính và các kết quả ý a, ta tính được:

BC ≈ 8,35 cm

BD ≈ 3,04 cm

DC ≈ 5,31 cm

AM ≈ 4,18 cm

DM ≈ 1,14cm