Tam giác ABC có góc A = 90 độ, AB = 12cm, AC =16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 23 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

a) Tính BC, BD và DC.

b) Kẻ đường cao AH, tính AH, HD và AD.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 12² + 16² = 400

Suy ra: BC = 20 (cm)

Vì AD là đường phân giác của góc BAC nên:

 $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra: $\frac{DB}{DB+\text{\hspace{0.17em}}DC}=\frac{AB}{AB\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AC}$hay $\frac{DB}{BC}=\frac{AB}{AB\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AC}$

Suy ra: $DB\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{BC.AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AC}=\frac{20.12}{12+\text{}16}=\frac{60}{7}$(cm)

Vậy : DC = BC – DB

= 20 - $\frac{60}{7}=\frac{80}{7}$ (cm)

b) Ta có: S_ABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC = $\frac{1}{2}$.AH.BC.

Suy ra: AB.AC = AH.BC

$\Rightarrow AH=\frac{AB.\text{}AC}{BC}=\frac{12.16}{20}=9,6$ (cm)

Trong tam giác vuông AHB,

ta có: $\widehat{AHB}$ = 90^o

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

AB² = AH² + HB²

Suy ra:

HB² = AB² - AH² = 12² - (9,6)² 

= 51,84 ⇒ HB =7,2 (cm)

Vậy HD = BD – HB =  - 7,2 ≈ 1,37 (cm)

Trong tam giác vuông AHD,

ta có: $\widehat{AHD}$ = 90^o

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

AD² = AH² + HD² 

= (9,6)² + (1,37)² = 94,0369

Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm).