Hình thang ABCD có AB // CD; AB = a, BC = b, CD = c, DA = d

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Bài 43 trang 85 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang ABCD có AB // CD; AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N.

a) Chứng minh rằng MN // CD.

b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a. b, c, d có cùng đơn vị đo).

Lời giải:

a) Gọi M' và N' là giao điểm của tia AM và BN với CD.

+ Ta có: $\widehat{M\text{'}}=\widehat{A_2}$(sole trong)

$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (giả thiết)

⇒ $\widehat{M\text{'}}=\widehat{A_1}$nên ΔADM' cân tại D

Vì DM là phân giác của $\widehat{ADM\text{'}}$.

Suy ra: DM là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ AM = MM' nên M là trung điểm AM’

+ Ta có $\widehat{N\text{'}}=\widehat{B_2}$ (so le trong)

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (giả thiết)

Vì $\widehat{N\text{'}}=\widehat{B_1}$nên ΔBCN' cân tại C.

Lại có: CN là phân giác của $\widehat{BCN\text{'}}$

Suy ra: CN là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ BN = NN' nên N là trung điểm BN’

Ta có N là trung điểm BN’; M là trung điểm AM’

Suy ra: MN là đường trung bình của hình thang ABN'M'

⇒ MN // M'N' (tính chất đường trung hình hình thang)

Hay MN // CD.

b) Ta có: $MN=\frac{AB+\text{\hspace{0.17em}}M\text{'}N\text{'}}{2}$ (tính chất đường trung hình hình thang).

$\Rightarrow MN=\frac{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}M\text{'}D+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}CD+\text{\hspace{0.17em}}CN\text{'}}{2}$  (1)

Mà M'D = AD, CN' = BC.

Thay vào (1) :

$\begin{array}{l}\Rightarrow MN=\frac{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AD+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}CD+\text{\hspace{0.17em}}BC}{2}\\ =\frac{a+\text{\hspace{0.17em}}d+\text{\hspace{0.17em}}c+\text{\hspace{0.17em}}b}{2}\end{array}$