Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Bài 44 trang 85 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC. Gọi AA', BB', CC' là các đường vuông góc kể từ A, B, C đến đường thẳng d.

Chứng minh rằng: $\text{}AA\text{'}=\frac{BB\text{'}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+CC\text{'}\text{\hspace{0.17em}}}{2}$

Lời giải:

Ta có: BB' ⊥ d (giả thiết)

CC' ⊥ d (giả thiết)

Suy ra: BB'// CC'.

Tứ giác BB'C'C là hình thang

Kẻ MM' ⊥ d

⇒ MM' // BB' // CC' (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Lại có M là trung điểm của BC nên M' là trung điểm của B’C’

⇒ MM' là đường trung bình của hình thang BB'C'C

⇒ $\text{}MM\text{'}=\frac{BB\text{'}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+CC\text{'}\text{\hspace{0.17em}}}{2}$ (1)

* Xét hai tam giác vuông AA'O và MM'O:

$\widehat{AA\text{'}O}=\widehat{MM\text{'}O}$ = 90^o

AO = MO (giả thiết)

$\widehat{AOA\text{'}}=\widehat{MOM\text{'}}$ (2 góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAA'O = ΔMM'O (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒AA' = MM' (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\text{}AA\text{'}=\frac{BB\text{'}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+CC\text{'}\text{\hspace{0.17em}}}{2}$ (điều phải chứng minh).