Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Bài 36 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng:

a) EI // CD, IF // AB;

b) $E\text{}F\le \frac{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}CD}{2}$.

Lời giải:

a) * Trong tam giác ADC, ta có:

E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AC (gt)

Nên EI là đường trung bình của ΔADC.

⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình của tam giác) và $\text{}E\text{}I=\frac{CD}{2}$

* Trong tam giác ABC, ta có:

I là trung điểm của AC và F là trung điểm của BC

Nên IF là đường trung bình của ΔABC.

⇒ IF // AB (tính chất đường trung bình của tam giác) và $I\text{}F=\frac{AB}{2}$

b) Với 3 điểm E, I, F bất kì ta có: EF ≤ EI + IF (dấu “ = ” xảy ra khi I nằm giữa E và F) mà $\text{}E\text{}I=\frac{CD}{2}$; $I\text{}F=\frac{AB}{2}$ (chứng minh trên)

⇒ $\text{EF\hspace{0.17em}}\le \frac{CD}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{AB}{2}$

Vậy $E\text{}F\le \frac{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}CD}{2}$(dấu bằng xảy ra khi AB // CD).