Cho đường thẳng d và hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Bài 4.2 trang 85 SBT Toán 8 Tập 1: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự là 20cm và 6cm. Gọi C là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng d.

Lời giải:

a) Trường hợp A và B nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng d.

Gọi A', B' là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d.

Ta có: AA' ⊥ d; BB' ⊥ d

⇒ AA' // BB'

Suy ra: tứ giác ABB'A' là hình thang.

Kẻ CH ⊥ d

⇒ CH // AA' // BB'

Xét hình thang ABB’A’ có:

C là trung điểm của AB

CH // AA’

Do đó CH đi qua trung điểm của A’B’ nên H là trung điểm của A’B’.

Nên CH là đường trung bình của hình thang ABB'A'

⇒$C\text{}H=\frac{A\text{}A\text{'}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}BB\text{'}}{2}$

$=\frac{20+6}{2}=13cm$

b) Trường hợp A và B nằm trên hai nửa mặt phẳng khác bờ  với với đường thẳng d

Kẻ CH ⊥ d cắt A'B tại K

⇒ CH // AA' // BB'

Trong ΔAA'B ta có: AC = CB.

Mà CK // AA' nên CK đi qua trung điểm của A’B nên K là trung điểm của A’B CK là đường trung bình của tam giác AA'B

⇒CK = $\frac{A\text{}A\text{'}}{2}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow CK=\frac{20}{2}=10$ (cm)

Trong ΔA'BB' có K là trung điểm của A’B và KH // BB'

Nên KH đi qua trung điểm của A’B’ do đó H là trung điểm của A’B’

Do đó, KH là đường trung bình của ΔA'BB'

⇒ KH = $\frac{BB\text{'}}{2}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

⇒ KH = $\frac{6}{2}$ = 3 (cm)

Suy ra: CH = CK – KH

= 10 – 3 = 7(cm).