Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Bài 42 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: 

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD.

Gọi I, K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC; F là trung điểm của BC.

* Trong ΔACB, ta có:

K là trung điểm của cạnh AC

F là trung điểm của cạnh BC

Nên KF là đường trung bình của ΔACB

⇒ KF // AB và KF = $\frac{1}{2}$AB

(tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong ΔBDC, ta có: I là trung điểm của cạnh BD

F là trung điểm của cạnh BC

Nên IF là đường trung bình của ΔBDC

⇒ IF // CD và IF = $\frac{1}{2}$CD (tính chất đường trung bình của tam giác)

FK // AB mà AB // CD nên FK // CD

Lại có: IF // CD (chứng minh trên)

Suy ra hai đường thẳng FI và FK trùng nhau.

⇒ I, K, F thẳng hàng, AB < CD

⇒ FK < FI nên K nằm giữa I và F

Ta có: IF = IK + KF

⇒ IK = IF – KF

= $\frac{1}{2}CD\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-\frac{1}{2}AB$

$=\frac{CD\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-AB}{2}$(điều phải chứng minh)