Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Đối xứng tâm

Bài 95 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng với nhau qua điểm A.

Lời giải:

* Vì E đối xứng với D qua AB

⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)

Nên ΔADE cân tại A.

Suy ra: AB là đường phân giác của $\widehat{DAE}$ 

⇒ $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$.

* Vì F đối xứng với D qua AC

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực).

Nên ΔADF cân tại A.

Suy ra: AC là phân giác của $\widehat{DAF}$

⇒ $\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{E\text{}A\text{}F}=\widehat{EAD}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{D\text{}A\text{}F}\\ \\ =\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{A_1\text{}}+\widehat{A_2\text{}}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{A_3\text{}}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{A_4}\\ \\ =2(\widehat{A_1\text{}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{A_3\text{}})\\ \\ ={2.90}^0={180}^0\end{array}$

⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD.

Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.