Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Đối xứng tâm

Bài 94 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

Lời giải:

* Xét tứ giác ABCD, ta có:

MA = MC (vì M là trung điểm của AC).

MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm).

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

⇒ AD // BC và AD = BC (tính chất hình bình hành) (1)

* Xét tứ giác ACBE, ta có:

AN = NB (Vì N là trung điểm AB)

NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ AE // BC và AE = BC (tính chất hình bình hành) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE.

Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.