Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, góc ABD = góc ACD

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 54 trang 97 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:

a) ΔAOB đồng dạng ΔDOC;

b) ΔAOD đồng dạng ΔBOC;

c) EA.ED = EB.EC.

* Lời giải:

a) Xét ΔAOB và ΔDOC, ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (giả thiết) Hay $\widehat{ABO}=\widehat{OCD}$

$\widehat{AOB}=\widehat{DOC}$ (2 góc đối đỉnh)

Vậy ΔAOB đồng dạng ΔDOC (g.g).

b) Vì ΔAOB đồng dạng ΔDOC nên:

$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}\Rightarrow \frac{AO}{OB}=\frac{DO}{OC}$

Xét ΔAOD và BOC ta có:

$\frac{AO}{OB}=\frac{DO}{OC}$ (chứng minh trên).

$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (đối đỉnh)

Vậy ΔAOD đồng dạng ΔBOC (c.g.c)

c) Vì ΔAOD đồng dạng ΔBOC nên: $\widehat{ADO}=\widehat{BCO}$ hay $\widehat{EDB}=\widehat{ECA}$

Xét ΔEDB và ΔECA ta có:

$\hat{E}$ chung

$\widehat{EDB}=\widehat{ECA}$ (chứng minh trên)

Vậy ΔEDB đồng dạng ΔECA (g.g)

Suy ra: $\frac{ED}{EC}=\frac{EB}{EA}$ ⇒ ED.EA = EC.EB.

* Phương pháp giải:

- Áp dụng định nghĩa và tính chất của hai tam giác đồng dạng để chứng minh

- Xem xét xem hai tam giác ở trường hợp đồng dạng thứ mấy để chứng minh cho đúng

*Lý thuyết

1. Định nghĩa

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC};\widehat{A^{\prime }}=\hat{A},\widehat{B^{\prime }}=\hat{B},\widehat{C^{\prime }}=\hat{C}$

Kí hiệu:$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$(viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số$k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$là tỉ số đồng dạng của$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$với$\mathrm{\Delta }ABC$.

Nhận xét:

-$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$với tỉ số đồng dạng k thì$\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$với tỉ số đồng dạng$\frac{1}{k}$. Ta nói hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng với nhau.

- Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 1. Mọi tam giác đồng dạng với chính nó.

-$\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$với tỉ số đồng dạng k và$\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$với tỉ số đồng dạng m thì$\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC$với tỉ số đồng dạng k.m.

2. Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$\mathrm{\Delta }ABC,MN//BC(M\in AB;N\in AC)\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Chú ý.Định lí trên vẫn đúng nếu thay bằng đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác.

$ED//BC\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Sơ đồ tư duy Hai tam giác đồng dạng

a) Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh :

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime };\\ \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}\end{array}\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

b) Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác: cạnh - góc - cạnh:

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime };\\ \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC},\widehat{A^{\prime }}=\hat{A}\end{array}\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Nhận xét: Nếu $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ theo tỉ số k và AM, A’M’ lần lượt là các đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ABC$ và $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ thì $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=k$

c) Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác: góc-góc:

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime };\\ \widehat{A^{\prime }}=\hat{A},\widehat{B^{\prime }}=\hat{B}\end{array}\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Nhận xét: $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ theo tỉ số k và AM, A’M’ lần lượt là các đường phân giác của $\mathrm{\Delta }ABC$ và $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ thì $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=k$