Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc CD

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 57 trang 98 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc CD (M thuộc BC và N thuộc CD). Chứng minh rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.

Lời giải:

* Trường hợp góc B nhọn:

Xét ΔAMB và ΔAND, ta có:

$\widehat{AMB}=\widehat{AND}$ = 90^o

 $\widehat{B}=\widehat{D}$ (t/chất hình bình hành)

Suy ra ΔAMB đồng dạng ΔAND (g.g)

Suy ra: $\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{A\text{}D}$  .

Mà AD = BC (tính chất hình hình hành)

Suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{BC}$.

Lại có: AB // CD (giả thiết) và AN ⊥ CD (giả thiết).

Suy ra: AN ⊥ AB hay $\widehat{NAB}$ = 90^o

Suy ra: $\widehat{NAM}+\widehat{MAB}$ = 90^o (1)

Trong tam giác vuông AMB ta có $\widehat{AMB}$ = 90^o

Suy ra: $\widehat{MAB}+\widehat{B}$ = 90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{NAM}=\widehat{B}$

Xét ΔABC và ΔMAN ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{BC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{NAM}=\widehat{B}$ (chứng minh trên)

Vậy ΔABC đồng dạng ΔMAN (c.g.c).

* Trường hợp góc B tù:

Xét ΔMAN và ΔAND, ta có:

$\widehat{AMB}=\widehat{AND}$ = 90^o

$\widehat{ABM}=\widehat{ADN}$ (vì cùng bằng $\hat{C}$)

Suy ra ΔAMB đồng dạng ΔAND (g.g)

Suy ra: $\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}$.

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

Suy ra: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{BC}$.

Vì AB // CD nên $\widehat{ABC}+\widehat{C}$ = 180^o (3)

Tứ giác AMCN có $\widehat{AMC}=\widehat{AND}$ = 90^o

Suy ra: $\widehat{MAN}+\widehat{C}$ = 180^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\widehat{MAN}=\widehat{ABC}$

Xét ΔAMN và ΔABC, ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{BC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{MAN}=\widehat{ABC}$ (chứng minh trên)

Vậy ΔMAN đồng dạng ΔABC (c.g.c).

Vậy ta luôn có: tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.