Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 60 trang 98 sách bài tập Toán 8 Tập 2: 

Lời giải:

Gọi Q là giao điểm của PF và AK, I là giao điểm của PE và CL.

Trong ΔFPE ta có: PE // AK hay QM // PE

Suy ra: $\frac{F\text{}Q}{F\text{}P}=\frac{FM}{F\text{}E}$  (định lí ta-lét) (1)

Trong ΔALO ta có:PF // CL hay FQ // LO

Suy ra: $\frac{A\text{}F}{AL}=\frac{FQ}{L\text{}O}$ (định lí ta-lét) (2).

Trong ΔALC ta có: PF // CL

Suy ra:$\frac{A\text{}F}{AL}=\frac{FP}{CL}$   (định lí ta-lét) (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\frac{FQ}{LO}=\frac{FP}{CL}\Rightarrow \frac{FQ}{FP}=\frac{LO}{CL}$ .

Vì LO = $\frac{1}{3}$CL (O giao điểm của hai đường trung tuyến, nên O là trọng tâm tam giác BAC) nên $\frac{F\text{}Q}{FP}=\frac{1}{3}$  (4)

Từ (1) và (4) suy ra: $\frac{F\text{}M}{FE}=\frac{1}{3}\Rightarrow \text{}FM=\frac{1}{3}F\text{}E$ .

Trong ΔEPF ta có: PF // CL hay NI // PF

Suy ra: $\frac{EI}{EP}=\frac{EN}{E\text{}F}$ (định lí ta –lét) (5)

Trong ΔCKO ta có: EI // OK

Suy ra: $\frac{CE}{CK}=\frac{EI}{KO}$  (định lí ta –lét) (6)

Trong ΔCKA ta có: PE // AK

Suy ra: $\frac{CE}{CK}=\frac{EP}{AK}$  (định lí ta –lét) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: $\frac{EI}{OK}=\frac{EP}{AK}\Rightarrow \frac{EI}{EP}=\frac{OK}{AK}$ .

Vì OK = $\frac{1}{3}$AK (O là trọng tâm tam giác ABC) nên $\frac{EI}{EP}=\frac{1}{3}$  (8)

Từ (5) và (8) suy ra: $\frac{EN}{EF}=\frac{1}{3}\Rightarrow EN=\frac{1}{3}EF$.

Ta có: MN = EF - (EN + FM) = $E\text{}F-\left(\frac{1}{3}\text{}EF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\frac{1}{3}\text{}EF\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{1}{3}\text{}EF$

Vậy EN = MN = NF  (điều phải chứng minh).